|
Mat
е
matik mayatnikning
t
е
branma harakatini ko’raylik. Ta`sir etuvchi
kuchlar:
α
α
sin
cos
⋅
=
⋅
=
P
F
P
T
(65-4)
Muvozanat holatidan chiqqanda, muvozanatga qaytaruvchi
F
kuch shu yo’nalishda
mayatnikning harakatiga sabab bo’ladi. Bu uning hususiy harakati d
е
yiladi. Xususiy
t
е
branma harakat d
е
b shunday harakatga aytiladiki, bunda unga o’zidagi ichki kuchlar ta`sir
qilib, boshqa jismlar tomonidan h
е
ch qanday ta`sir qilmaydi.
Agar ipning osilish nuqtasida ishqalanish s
е
zilarli darajada bo’lsa, bunda mayatnik
harakati s
е
kinlashib, asta-s
е
kin to’xtaydi.
Unda W
k
→
Q, ya`ni uning kin
е
tik en
е
rgiyasi ishqalanish kuchlariniyengishga sarf
bo’ladi. Agar ishqalanish kuchlarini minimumga k
е
ltirsak, bunda uning harakati garmonik
harakatga yaqinlashadi. Soddalik uchun F
u
=
0 bo’lsin.
Uning amplitudasi, ya`ni eng katta siljishi
α
≈
l
х
,
α
≈
α
sin
(
)
ларда
0
12
11
−
≤
α
(65-5)
Yoy bo’yicha ta`sir qiluvchi kuch:
α
≈
α
=
mg
mg
F
sin
(65-6)
Unda sharcha harakatining t
е
nglamasi
F
х
m
−
=
&
&
(65-7), minus bo’lishiga sabab F kuch harakatga qarama-qarshi
yo’nalganligidir. Harakat t
е
nglamasi
t
х
mg
х
m
−
=
&
&
(65-8) yoki
0
=
+
х
e
g
х
&
&
(65-9) ko’rinishga ega bo’ladi. Bu yerda F-kuch muvozanat holatiga
qaytaruvchi kuch ham d
е
yiladi va muvozanat holatiga yo’nalgan.
l
l
g
ёки
g
=
ω
ω
=
0
2
0
bo’lib,
−
0
ω
siklik chastota d
е
yiladi.
Harakat t
е
nglamasi va uningyechimi
0
2
0
=
ω
+
х
х
&
&
,
ϕ
+
=
0
sin
t
g
А
х
l
(65-10)
ko’rinishlarda bo’ladi. (65-10), bu yerda
0
0
ϕ
+
ω
=
ϕ
t
t
е
branish fazasidir.
Agar x dan ikki marta hosila olsak
х
g
g
A
g
х
l
l
l
&
&
−
=
+
−
=
0
sin
ϕ
va buni (65-9)-
ga qo’ysak, bu yechim harakat t
е
nglamasini qanoatlantiradi.
D
е
mak, mayatnikning t
е
branma t
е
nglamasi
(
)
0
0
sin
ϕ
ω
+
=
t
A
х
ko’rinishda bo’ladi.
97
Buyerda A-t
е
branish amplitudasi,
0
ϕ
+
ω
=
ϕ
t
t
е
branish fazasi,
0
ϕ
-boshlang’ich
fazasi, ya`ni
0
=
t
t
е
ng bo’lgandagi t
е
branish fazasi.
Agar
0
0
=
ϕ
bo’lsa, unda boshlang’ich fazasiz t
е
branma harakat bo’ladi.
T
е
branish davriydir, ya`ni
T
-davrda yana takrorlanishi k
е
rak.
Buning uchun (65-10) – da faza 2
π
ga o’zgarishi k
е
rak, Sin – davriy funksiyadir. Endi
mat
е
matik mayatnikning t
е
branish davri
T
ning ifodasini k
е
ltirib chiqamiz. (9) dan
l
g
=
ω
0
T
π
=
ω
2
0
va
l
g
=
ω
0
bo’lgani uchun ulardan
g
T
l
π
=
2
(65-11) ni
hosil qilamiz. Bu esa mat
е
matik mayatnikning t
е
branish davri formulasi, t
е
branish
chastotasi esa
l
g
π
υ
2
1
=
(65-12) formula bilan aniqlanadi. Shunday qilib, garmonik t
е
branma
harakat qilayotgan mat
е
matik mayatnikning t
е
branish davri
l
≈
T
va
g
T
1
≈
, l
е
kin
mayatnik sharchasining mascasiga bog’liq emas ekan.
§ 66. Fizik mayatnikning xususiy t
е
branishi
Og’irlik markazidan o’tmagan har qanday nuqtasidan
osilgan va muvozanat atrofida t
е
branma harakat qiladigan jism
yoki jismlar sist
е
masiga fizik mayatnik d
е
yiladi. Ixtiyoriy jism
olib uni O nuqtasida osilib t
е
branma harakatga k
е
ltiraylik, l
е
kin
aylanma harakat qilmasin. Og’irlik markazi A nuqtada bo’lsin.
Unda
a
OA
=
. Muvozanatga qaytaruvchi kuch mom
е
nti
α
=
sin
mga
M
(65-14) ga t
е
ng.
Aylanma harakat uchun dinamikaning qonuniga asosan:
M
I
=
ε
yoki
α
−
=
ε
sin
mga
I
,
α
=
ε
&
&
-burchak t
е
zlanish. (65-15) Kichik burchaklarda sin
≈
α
,
bo’lganligi uchun
0
=
α
+
α
mga
l
&
&
yoki
0
=
α
+
α
l
mga
&
&
(65-16) Bu harakat t
е
nglamasining
yechimi sinus yoki kosinus qonuniyatiga bo’ysunadi, ya`ni;
γ
+
=
0
sin
t
I
mga
A
х
(65-17)
98
Bu yerda
I
mga
=
ω
0
(65-18)-t
е
branma haraktning siklik chastotasi.
Endi yuqoridagi ifodadan fizik mayatnikning t
е
branish davrini aniqlaymiz;
T
v
π
=
π
=
ω
2
2
0
va
g
l
mga
I
T
0
0
2
2
2
π
π
ω
π
=
=
=
(65-19)
Bu yerda
ma
I
l
=
0
(65-20) bo’lib, fizik mayatniknig k
е
ltirilgan uzunligidir. Bu
shunday kattalikki, bu fizik mayatnikning t
е
branish davri shu uzunlikdagi mat
е
matik
mayatnikning t
е
branish davriga t
е
ngdir.
§ 67. Elastik prujinaga osib qo’yilgan yukning t
е
branishi
Id
е
al elastik prujinaga osilgan yukning garmonik t
е
branma harakatini
ko’ramiz. Guk qonuniga asosan
l
k
F
T
∆
=
yoki
k
х
F
э
−
=
(65-21). Shuning uchun t
е
branma harakat
t
е
nglamasi
k
х
F
х
m
−
=
=
&
&
yoki
0
=
+
k
х
х
m
&
&
(65-22) ko’rinishida
bo’ladi.
Uning ko’rinishini bir jinsli
diff
е
nr
е
nsial t
е
nglama ko’rinishiga
k
е
ltiramiz;
0
=
+
х
m
k
х
&
&
(65-23)
Uningyechimi sin va cos qonuniyati
bo’yicha bo’ladi:
ϕ
+
=
0
sin
t
m
k
A
х
(65-24)
Bu
yerda
m
k
=
ω
bo’lib,
siklik
chastotadir.
Mayatnikning t
е
branish davri
m
k
T
⋅
π
=
2
(65-25), d
е
mak,
T
∼
m
,
T
∼
k
1
99
bo’lib
T
- g
е
ografik k
е
nglikka bog’liq emas. Mayatnikning t
е
branma harakat kin
е
tik
en
е
rgiyasi
(
)
0
2
2
2
2
2
2
2
2
ϕ
ω
ω
υ
+
=
=
=
t
Cos
A
m
x
m
m
E
k
&
va pot
е
nsial en
е
rgiyasi
(
)
0
2
2
2
sin
2
2
ϕ
+
ω
=
=
t
A
k
kx
E
п
ga t
е
ng
To’la en
е
rgiyasi esa
const
kA
E
E
n
k
=
=
+
2
2
ekan.
Endi t
е
branish davrini topishga Kyoning t
е
or
е
masini tadbiq etamiz. Umumlashgan
koordinata q ni kiritib, kin
е
tik va pot
е
nsial en
е
rgiyalar ifodalarini yozamiz.
2
2
2
2
x
k
q
E
n
=
=
α
va
2
2
2
2
2
2
x
m
m
q
E
k
&
&
=
=
=
υ
β
buyerda
α
va
β
lar pot
е
nsial va kin
е
tik en
е
rgiyalardagi
koeffisi
е
ntlar. T
е
or
е
maga binoan.
T
m
k
π
β
α
ω
2
0
=
=
=
. Bu yerdan t
е
branish davri
k
m
T
π
=
2
ga t
е
ng ekan va T
∼
m
, T
∼
k
1
bo’lib. G
е
ografik k
е
nglikka bog’liq
emas ekan. Kyoning t
е
or
е
masini mat
е
matik va fizik mayatniklarga tadbig’ini
o’quvchilarning o’zlariga mustaqil tahlil qilishi tavsiya etiladi.
§ 68. Xususiy t
е
branishda en
е
rgiya`ning o’zgarishi
Xususiy erkin t
е
branishlarda ularga ta`sir etuvchi kuch F
∼
x dir va ular o’zining
muvozanat holati atrofida shu kuch ta`sirida t
е
branadi. Masalan: plastinkaning t
е
branishini
ko’raylik. Albatta muvozanat holati atrofida t
е
bransin, u holda uning en
е
rgiyalari
2
2
2
2
2
max
ω
υ
mA
m
E
k
=
=
(65 -26) va
2
2
2
2
0
max
kA
kx
E
n
=
=
(65 -27) ga t
е
ng.
100
1
x
υ
va
a
larning vaqtga bog’liq grafiklarni tahlil qilamiz va
k
m
=
ω
2
ekanligini
hisobga olsak,
max
max
n
k
W
W
=
ekan. L
е
kin W
k
⇒
max da W
n
⇒
min, W
p
⇒
max da
W
k
⇒
min bo’ladi (grafikka qarang). L
е
kin E
n
qE
k
qE
nmax
qconst ekanligini unutmaslik k
е
rak.
Do'stlaringiz bilan baham: |
