Механика (lotin)

§ 43. Qattiq jism harakati uchun dinamikaning asosiy qonunlari 
 
Qattiq jismning qandaydir XUZ koordinatasiga nisbatan harakatini ko’raylik va uning 
har  bir  zarrachasiga  ta`sir  etuvchi  kuch  aniq  bo’lsin.  Koordinata  boshi  0  nol  bo’lsin, 
zarrachaga  radius  –  v
е
ktori 
i
R
r
  va  bunga  ta`sir  etuvchi  kuch 
i
F
r
  bo’lsin  (tashqi  kuch) 
Nyutonning II qonuniga asosan   
i
i
i
F
dt
d
m
r
r
=
∆
υ
   
(43 – 1) 
−
i
R
r
 ga ko’paytirsak 
[
]
i
i
i
i
i
F
R
dt
d
R
m
r
r
r
⋅
=



 ⋅
∆
υ
   
(43–2) 
Endi 0 nol nuqtaga nisbatan impuls 
mom
е
nti  
[ ]
i
i
i
i
R
m
N
υ
r
r
r
⋅
∆
=
∆
   (43 – 3) 
Undan 
dt
d
 bo’yicha hosilasi  
 
[ ]
(
)



 ⋅
∆
+






⋅
∆
=
⋅
∆
=
∆
dt
d
R
m
dt
R
d
m
R
m
dt
d
N
dt
d
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
υ
υ
υ
r
r
r
r
r
r
r
     (43 – 4) 
i
i
v
dt
R
d
r
r
=
  bo’lgani uchun  
[ ]
0
sin
2
=
=
a
v
v
v
i
i
r
r
,    




∆
=
∆
dt
v
d
R
m
N
dt
d
i
i
i
i
r
r
r
   (43 – 5) 

---

 
55
Budan 
i
i
i
i
M
dt
d
m
R
∆
=
∆
υ
    
( )
i
i
M
dt
N
d
r
r
∆
=
∆
  (43 – 6) 
Barcha zarralar uchun 
i
i
M
N
dt
d
r
r
Σ∆
=
Σ∆
 umumiy holda (43-7) 
M
dt
N
d
r
r
=
 (43-8) va 
M
dt
N
d
r
r
Σ∆
=
 bo’ladi. 
Ichki  kuchlar  o’zaro  komp
е
nsasiya  bo’ladi.  Bu  mom
е
nt  esa  tashqi  kuchlarning 
mom
е
ntlaridir.  D
е
mak,  qattiq  jismga  ta`sir  etuvchi  kuchlar  mom
е
ntining  yig’indisi  shu 
jismning  biror  qo’zg’almas  o’qqa  nisbatan  impuls  momm
е
ntining  vaqt  bo’yicha 
o’zgarishiga,  t
е
ng.  Yoki  qattiq  jism  impuls  mom
е
ntining  vaqt  bo’yicha  o’zgarishi  unga 
ta`sir etuvchi kuchlar mom
е
ntlarining yo’nalishi bo’ylab yo’nalib, uning kattaligiga t
е
ng. 
Isbot qilish mumkin: 
0
0
M
dt
dN
=
 (43-9) 
In
е
rsiya  markazining  impuls  mom
е
ntining  vaqt  bo’yicha  o’zgarishi  unga  ta`sir 
etuvchi kuch mom
е
ntiga t
е
ng, ya`ni 
ω
I
N
=
 yoki 
M
I
dt
d
I
dt
dN
=
=
=
ε
ω
  (43-10) 
 
§ 44. Aylanma va ilgarilanma harakat qilayotgan  
jismning kin
е
tik en
е
rgiyasi 
 
Ham 
aylanma, 
ham 
ilgarilanma 
harakat 
qilayotgan  jismning  kin
е
tik  en
е
rgiyasini  topish  uchun 
uning  ixtiyoriy  nuqtasining  harakatini  ko’ramiz. 
Qo’zg’almas  sanoq  sist
е
masiga  nisbatan  moddiy  nuqta 
radius  –  v
е
ktori 
i
i
i
r
r
R
R
r
r
r
,
0
+
=
  (44-1)-  qo’zg’aluvchan 
sanoq sist
е
masiga nisbatan radius v
е
ktori 
Uning vaqt bo’yicha o’zgarishi  
dt
r
d
dt
R
d
dt
R
d
i
i
r
r
r
+
=
0
 (44-2) 
Undan 
i
i
υ
υ
υ
r
r
r
+
=
0
`
(44-3), ya`ni  
i
i
i
dt
R
d
υ
υ
υ
r
r
r
r
=
+
=
0
`
 (44-4) 
Moddiy nuqtaning kin
е
tik en
е
rgiyasi 
2
0
2
)
`
(
2
2
i
i
i
i
ki
m
m
υ
υ
υ
r
r
+
∆
=
⋅
∆
=
∆Ε
 (44-5) 

---

 
56
(
)
2
1
0
2
0
2
2
1
i
i
i
ki
k
m
E
υ
υ
υ
υ
r
r
r
r
+
+
Σ∆
=
Σ∆
=
Ε
 (44-6) 
2
1
0
2
0
2
1
2
2
2
1
υ
υ
υ
υ
r
r
r
r
⋅
Σ∆
+
⋅
Σ∆
+
=
Ε
i
i
i
k
m
m
m
(44-7) 
Bu yerda 
0
1
=
⋅
Σ∆
i
i
m
υ
r
, 
chunki 
0
=
⋅
Σ∆
i
i
gr
m
 edi 
i
r
ω
υ
=
`
 (44-
8) bo’lgani uchun 
2
2
0
2
0
2
1
2
1
2
1
i
i
i
i
k
r
m
r
m
m
⋅
Σ∆
+
⋅
Σ∆
+
=
Ε
ω
ω
υ
υ
r
r
 va natijada 
2
2
0
2
1
2
1
ω
υ
I
m
k
+
=
Ε
 
buyerda 
2
0
2
1
υ
m
-jismning 
ilgarilanma 
harakat 
kin
е
tik 
en
е
rgiyasi, 
2
2
1
ω
I
  esa  aylanma  harakat  kin
е
tik  en
е
rgiyasidir.  Agar  in
е
rsiya  markazi 
ko’chmasa 
0
0
=
dt
R
d
r
2
2
2
2
2
2
12
2
1
2
,
2
1
2
2
ω
ω
ω
ω
υ
I
I
r
m
r
m
m
i
i
i
i
k
=
Σ∆
∆
⋅
=
∆
=
∆
=
∆Ε
,    
2
2
2
1
ω
ω
I
I
i
ki
k
=
Σ∆
=
ΣΕ
=
Ε
 
D
е
mak,  jismning  kin
е
tik  en
е
rgiyasi uning aylanma harakat  en
е
rgiyasiga t
е
ng.  Qattiq 
jism  harakati  uchun  dinamika  qonuni  tadbiqlari.  Misol  uchun  shar  yoki  silindrning  qiya 
t
е
kislik bo’yicha harakatidagi t
е
zlanishni aniqlash usullarini k
е
ltiramiz. 
Ι
- usul 
1). 
a
a
M
I
=
ε
, 2). 
r
mg
r
F
M
c
A
⋅
=
=
α
sin
, 
3). 
r
r
A
ω
ω
υ
υ
=
+
=
 4). 
r
a
a
r
r
dt
d
dt
d
=
=
=
=
ε
ε
ω
υ
, 
5). 
α
sin
mgr
r
a
I
A
=
 6). 
2
0
mr
I
I
A
+
=
 
7). 
(
)
1
sin
,
sin
1
,
sin
2
0
2
0
2
2
+
=
=






+
=
+
mr
I
g
a
g
a
mr
I
mgr
a
mr
I
o
α
α
α
 
II – usul 
 1) 
c
M
I
=
ε
0
 2) 
Fr
M
c
=
 
3) 
;
,
0
sin
r
a
r
a
Const
v
F
mg
ma
=
=
=
=
−
=
ε
ε
α
 
(
)
r
ma
mg
Fr
r
a
I
−
=
=
α
sin
0
 

---

 
57
2
2
0
sin
mar
mgr
a
I
−
=
α
 
 
2
0
2
2
0
1
sin
sin
)
(
mr
a
g
a
a
g
mr
a
mr
Ι
+
=
⇒
=
+
Ι
 
III – usul 
2
2
2
2
sin
2
r
mgx
mgh
I
n
k
σ
αω
ω
=
⋅
=
=
Ε
=
Ε
 ; 
α
sin
⋅
=
x
h
;  
2
2
2
2
2
r
м
Ι
=
Ι
ω
 
Hosila olsak,  
(
)
′
=
′




α
υ
sin
2
2
2
mgx
r
I
 ;  
υ
=
dt
dx
      
α
υ
υ
sin
2
2
2
mg
a
r
I
=
   
α
sin
2
mgr
Ia
=
 
2
0
mr
I
I
+
=
   
2
2
2
2
1
sin
sin
sin
mr
I
g
mr
I
g
mr
I
g
mr
a
+
=
+
=
=
α
α
α
 ; 
2
ρ
=
m
I
; sharning k
е
ltirilgan radiusini - 
ρ
 d
е
sak, 
2
2
1
sin
r
g
a
ρ
α
+
=
 bo’ladi.
 
§ 45. Erkin aylanish o’qlari 
 
Agar  jismning  aylanish  o’qi 
jismning 
massa 
(og’irlik) 
markazidan  o’tmasa,  markazdan 
qochma-in
е
rsiya  kuchlari  o’qqa 
bosim 
kuchi 
b
е
radi 
va 
uni 
d
е
formatsiyalashi  mumkin.  Agar 
st
е
rj
е
nning 
uchiga 
yaqin 
markazdan  va  unga  yaqin  nuqtalardan  o’q  o’tkazib  aylantirsak,  quyidagi  manzaralarni 
ko’rishimiz  mumkin  (rasmlarga  qarang).  Agar  o’q  massalar  markazidan  o’tib,  in
е
rsiya 
kuchlarining  o’qqa  tik  bo’lgan  ixtiyoriy  yo’nalishiga  nisbatan  mom
е
nti  nolga  t
е
ng  bo’lsa, 
aylanayotgan  jismning  o’qqa  ta`siri  bo’lmaydi.  Bunday 
aylanish o’qlari erkin aylanish o’qlari d
е
yiladi. 
Erkin aylanish o’qlari  bo’yicha  jismni aylantirsak, u 
istalgancha  uzoq  vaqt  davom  etadi.  Agar  aylanish  o’qi 
erkin bo’lmasa, u holda bu o’q atrofida (a, b) sof aylanish 
bajarilmaydi, jism harakati murakkab bo’ladi. 
Masalan. 
I
-  minumum  bo’lgan  o’qlar  atrofida 
aylanish  turg’un  aylanadi,  (masalan  II-II
1
)  –  maksimum  bo’lgan  o’q  atrofida  aylanish 
noturg’un  bo’ladi,  (masalan  III-III
1
).  Turli  silindrsimon  jismlarning  qiya  t
е
kislikdan  t
е
kis 

---

 
58
aylanma  harakat  qilib,  sakrab  va  “do’mbaloq  oshib”  harakat  qilish  hollarini  tahlil  qilishni 
o’quvchilarga havola qilamiz.