Mazmuni kirish. Nazariy sharx. Interpolatsiya. Kvadrat spline yordamida interpolyatsiya qilish. Kub splayn yordamida interpolyatsiya qilish. Muammo bayoni. Kubik spline foydalanish interpolatsiya algoritmmi

2.2 Kub splayn yordamida interpolyatsiya qilish


f ( x ) funksiya va berilgan x _i tugunlariga mos keladigan kubik interpolyatsiya spline quyidagi shartlarni qanoatlantiradigan S ( x ) funksiyadir :
1. Har bir segmentda [ x _{i - 1} , x _i ] , i = 1 , 2, . .., N funksiya S ( x ) uchinchi darajali ko‘phad,
2. S ( x ) funksiyasi , shuningdek uning birinchi va ikkinchi hosilalari [ a, b ] segmentida uzluksizdir ,


3. S ( x _i ) = f ( x _i ) , i = 0 , 1 , ..., N.

Har bir segmentda [ x _{i - 1} , x _i ] , i = 1 , 2, ..., N funksiyani qidiramiz S ( x ) = S _i ( x ) uchinchi darajali ko'phad shaklida:

S _i ( x ) = a _i + b _i ( x - x _{i - 1} ) + c _i ( x - x _{i - 1} ) ² + d _i ( x - ₁ ) ³ ,
x _{i - 1}  x  x _i ,

Bu yerda a _i , b _i , c _i , d _{i - barcha} n elementar segmentlar bo'yicha aniqlanadigan koeffitsientlar . Algebraik tenglamalar sistemasi yechimga ega bo'lishi uchun tenglamalar soni noma'lumlar soniga aynan teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz 4 n tenglamani olishimiz kerak.

S ( x ) funksiyaning grafigi berilgan nuqtalardan o'tishi shart bo'lgan shartdan dastlabki 2 n tenglamani olamiz, ya'ni.
S _i ( x _{i - 1} ) = y _{i - 1} , S _i ( x _i ) = y _i .

Ushbu shartlarni quyidagicha yozish mumkin:

S _i ( x _{i - 1} ) = a _i = y _{i - 1} ,
S _i ( x _i ) = a _i + b _i h _i + c _i h + d _i h = y _i ,

gde

h _i = x _i - x _{i - 1} , i = 1 , 2 , ..., n.

Interpolyatsiya tugunlarida birinchi va ikkinchi hosilalarning uzluksizligi shartidan, ya'ni barcha nuqtalarda egri chiziqning silliqligi shartidan quyidagi 2 n - 2 tenglamalar kelib chiqadi.

S' _{i + 1} ( x _i ) = S' _i ( x _i ), i = 1 , ..., n - 1 ,' ' _{i + 1} ( x _i ) = S' ' _i ( x _i ) , i = 1 , ..., n - 1 ,
S' _i ( x ) = b _i + 2 c _i ( x - x _{i - 1} ) + 3 d _i ( x - x _{i - 1} ) ,
S' _{i + 1} ( x ) = b _{i + 1} + 2 c _{i + 1} ( x - x _i ) + 3 d _{i + 1} ( x - x _i ) .

Har bir ichki tugunda tenglashtirish x = x _{i Tugunning chap va o'ng tomonidagi oraliqlarda hisoblangan ushbu hosilalarning qiymatlarini olamiz (} h _i = x _i - x _{i - 1} ni hisobga olgan holda ):

b _{i + 1} = b _i + 2 h _i c _i + 3 h d _i , i = 1 , ..., n - 1 ,' ' _i ( x ) = 2 c _i + 6 d _i ( x - x _{i - 1} ) ,' ' _{i + 1} ( x ) = 2 c _{i + 1} + 6 d _{i + 1} ( x - x _i ) ,

agar x = x _i

c _{i + 1} = c _i + 3 h _i d _i , i = 1 , 2, ..., n - 1 .

Ushbu bosqichda bizda 4 n noma'lum va 4 n - 2 tenglama mavjud. Shuning uchun yana ikkita tenglamani topish kerak.

Uchlarini erkin mahkamlash bilan ushbu nuqtalardagi chiziqning egri chizig'ini nolga tenglashtirish mumkin. Uchlaridagi nol egrilik shartlaridan kelib chiqadiki, ikkinchi hosilalar ushbu nuqtalarda nolga teng:


S _{1' '} ( x ₀ ) = 0 va S _{n' '} ( x _n ) = 0 ,
c _i = 0 i 2 c _n + 6 d _n h _n = 0 _


n koeffitsientni aniqlash uchun chiziqli algebraik tenglamalar tizimini tashkil qiladi : a _i , b _i , c _i , d _{i .} ( i = 1 , 2 , .., n ) .
Ushbu tizimni yanada qulayroq shaklga qisqartirish mumkin. Shartdan siz darhol barcha koeffitsientlarni topishingiz mumkin a _i .
Keyin biz olamiz:



i = 1 , 2, ..., n - 1 ,

O'rniga qo'yib , biz quyidagilarni olamiz :

b _i = - ( c _{i + 1} + 2 c _i ) , i = 1 , 2, ..., n - 1 , _n = - ( h _n c _n )


b _i va d _i koeffitsientlarini chiqarib tashlang . Nihoyat, faqat _i bo'lgan koeffitsientlar uchun quyidagi tenglamalar tizimini olamiz :


c ₁ = 0 i c _{n + 1} = 0 : _{i - 1} c _{i - 1} + 2 ( h _{i - 1} + h _i ) c _i + h _i c _{i + 1} = 3 ,
i = 2 , 3, ..., n.


_i bilan topilgan koeffitsientlarga ko'ra d _i , b _i ni hisoblash oson .


2.3 Muammoning bayoni


a, b ] segmentida n + 1 nuqta x _i = x ₀ , x ₁ , . . ., x _n , ular tugunlar deb ataladi interpolatsiya va ba'zi bir funktsiyaning qiymati f ( x ) bu nuqtalarda


f ( x ₀ ) = y ₀ , f ( x ₁ ) = y ₁ ,. . ., f ( x _n ) = y _n .

Kub splinelar yordamida f ( x ) interpolyatsiya funksiyasini tuzing .

3. KUBIK SPLINEDAN FOYDALANGAN INTERPOLATSIYA ALGORITMMI

Keling, dasturning algoritmi bilan tanishamiz.

1. Qiymatlarni hisoblang va
. Ushbu qiymatlarga asoslanib, biz supurish koeffitsientlarini hisoblaymiz va p .
. Olingan ma'lumotlarga asoslanib, biz koeffitsientlarni hisoblaymiz
. Keyin funktsiyaning qiymatini spline yordamida hisoblaymiz.

kjj

4. DASTURIY TA'MINOTLARNI DIZAYN





5. DASTURIY TA'MINOT NATIJALARI


.1 Test holatlarining tavsifi

Ushbu kurs ishini bajarish jarayonida mavjud nuqtalar orqali ularga mos keladigan egri chiziq chizuvchi dasturiy modul ishlab chiqildi. Ishning samaradorligini tekshirish uchun test sinovlari o'tkazildi.

5.2 Sinov natijalari

cspline funktsiyasidan foydalaniladi , bu esa mos yozuvlar nuqtalarida kubik polinomga yaqinlashganda ikkinchi hosilalarning vektorini qaytaradi.

5.3 Sinov ishi 1












1.1-rasm - dastur natijasi

Test ishi 2

1.2-rasm - dastur natijasi

Test ishi 3

1.3-rasm - dastur natijasi


XULOSA
spline interpolyatsiya funksiyasi hisoblash
Hisoblash matematikasida funktsiyalarning interpolyatsiyasi muhim rol o'ynaydi, ya'ni. qiymatlari ma'lum nuqtalarda berilgan funktsiyaning qiymatlariga to'g'ri keladigan boshqa (odatda oddiyroq) funktsiyani qurish. Bundan tashqari, interpolyatsiya ham amaliy, ham nazariy ahamiyatga ega. Amalda, muammo ko'pincha uzluksiz funktsiyani uning jadval qiymatlaridan, masalan, ba'zi bir tajriba jarayonida olinganlardan tiklash bilan bog'liq. Ko'pgina funktsiyalarni hisoblash uchun ularni polinomlar yoki kasr ratsional funktsiyalar bilan yaqinlashtirish samarali bo'ladi. Interpolyatsiya nazariyasi sonli integrasiya uchun kvadratura formulalarini qurish va o‘rganish, differensial va integral tenglamalarni yechish usullarini olishda qo‘llaniladi. Polinom interpolyatsiyasining asosiy kamchiligi shundaki, u eng qulay va tez-tez ishlatiladigan to'rlardan biri - teng masofadagi tugunlarga ega bo'lgan panjarada beqaror. Muammo imkon bersa, bu muammoni Chebyshev tugunlari bilan panjara tanlash orqali hal qilish mumkin. Biroq, agar biz interpolyatsiya tugunlarini erkin tanlay olmasak yoki bizga tugunlarni tanlashda unchalik talabchan bo'lmagan algoritm kerak bo'lsa, ratsional interpolyatsiya polinom interpolyatsiyasiga mos alternativ bo'lishi mumkin.
Spline interpolyatsiyasining afzalliklari hisoblash algoritmini qayta ishlashning yuqori tezligini o'z ichiga oladi, chunki splayn qismli polinom funksiyasi bo'lib, interpolyatsiya paytida ma'lumotlar bir vaqtning o'zida ko'rib chiqilayotgan fragmentga tegishli oz sonli o'lchov nuqtalari uchun qayta ishlanadi. Interpolyatsiya qilingan sirt turli masshtablarning fazoviy o'zgaruvchanligini tavsiflaydi va ayni paytda silliqdir. Oxirgi holat analitik protseduralar yordamida sirtning geometriyasi va topologiyasini bevosita tahlil qilish imkonini beradi.