Maxsus nuqtalar va ularning tiplari

Misol. funksiyaning maxsus nuqtalari va uning tafsifi aniqlansin.
Yechish.
1-usul maxsus nuqta. Haqiqiy sonlar o`qida funksiya da bo`ladi.
Mavhum o`qida esa bo`ladi, agar bo`lsa
Demak, da funksiya limitga ega emas, ya`ni nuqta muhim maxsus nuqtadir.
2-usul. Berilgan funksiyaning ajralgan maxsus nuqtasi dan iborat, chunki qator yoyilmasiga asosan
Bu esa Loran qatorining bosh qismidan iborat bo`lib, hadlari cheksiz ko`p. Demak, berilgan funksiyasining muhim maxsus nuqtasi.
2.Yakkalangan maxsus nuqtalar.
1 –Ta’rif. nuqta uchun yakkalangan maxsus nuqta deyiladi, agarda nuqtani qandaydir o’yilgan atrofida funksiya golomorf bo’lsa. ( nuqtani o’yilgan atrofii deganda xalka tushuniladi nuqta uchun xalka tushuniladi).
2 –Ta’rif. a) agar mavjud va chekli bo’lsa nuqtaga kutulib bo’ladigan maxsus nuqta deyiladi.
b) agar mavjud va ga teng bo’lsa, nuqtaga qutb maxsus nuqta deyiladi.
v) Agar limit mavjud bo’lmasa, u holda nuqtaga muhim maxsus nuqta deyiladi.
Misol.
1. funksiya uchun nuqta bartaraf etiladigan maxsus nuqtadir. CHunki
2. funksiya uchun nuqta qutb maxsus nuqta
3. funksiya uchun nuqta muhim maxsus nuqta
4. funksiya uchun nuqtalar qutb maxsus nuqtalardir. Nol’ nuqta funksiya uchun yakkalanmagan mxsus nuqtalardir.
5. funksiyani maxsus nuqtalari ancha murakkab.

Qator doirada yaqinlashuvchi, Koshi –Adamar formulasini kullasak, , . Shuning uchun funksiya doirada golomorfdir. tengsizlik natural son uchun o’rinlidir.

YUqoridagi tengsizlikdan ekanligi kelib chiqadi. funksiya uchun nuqta maxsus nuqta (qutb). Shunday qilib,
tenglikdan nuqta ham funksiya uchun maxsus nuqta ekanligi kelib chiqadi. tenglikdan nuqtalarning maxsus nuqtalar ekanligi kelib chiqadi. shakldagi nuqtalar to’plami aylanani hama joyda zich bo’lgan to’plamni tashkil etadi.
Shuning uchun aylananing barcha nuqtalari funksiya uchun maxsus nuqtadir.
Eslatma. Teylor qatoridagi kabi Loran qatorini koeffitsientlari uchun ham koshi tengsizligi o’rinlidir.
xalkada yaqinlashuvchi bo’lgan Loran qatorini koeffitsientlari uchun tengsizlik o’rinlidir.
Isboti Teylor qatoridagi kabi isbotlanadi.