Maxraji, n boʻlsa surati

Koʻpaytirish va boʻlish
Ikki oddiy kasrni koʻpaytirish uchun berilgan kasrlarning surat va maxrajlarini oʻzaro koʻpaytirish
kerak:

---

Kasrni natural songa koʻpaytirish uchun suratni berilgan son bilan koʻpaytirish kerak. Maxrajni
oʻziday qoldirish kerak:
Koʻpaytirishdan hosil boʻlgan kasrning surati va maxraji qisqarsa, ularni qisqartirish kerak.
Masalan:
Koʻpaytirishni qulaylashtirish uchun kasrlarni soddalashtirish mumkin. Bunda surat va maxrajdagi
sonlar nisbati saqlanib, eng kichik qiymatlarga keltiriladi. Masalan:
Ikki oddiy kasrni boʻlish uchun birinchi kasrni ikkinchi kasrning teskarisiga koʻpaytirish kerak:
Masalan:
Yozish usulini oʻzgartirish
Oddiy kasrni oʻnli kasr koʻrinishida yozish uchun suratni maxrajga boʻlish kerak. Natija chekli oʻnli
belgiga ega boʻlishi yoki cheksiz 
davriy kasr
boʻlishi mumkin. Misollar:
— cheksiz takrorlanuvchi davrni
qavsga olib yozish qabul qilingan.
Oʻnli kasrni oddiy kasr koʻrinishida yozish uchun berilgan oʻnli kasrning kasr qismini 10 sonining
mos keluvchi darajasiga boʻlib natural son koʻrinishida yozish kerak. Soʻngra kasr qism bilan
butun qismni birlashtirib yozish zarur. Bunda aralash kasr hosil boʻladi. Misol:
Tarixi

---

Eng qadimgi kasrlar 
butun sonlarning
teskari yozilgani boʻlgan. Bu qadimiy belgilar ikkining bir
qismini, uchning bir qismini, toʻrtning bir qismini va hokazoni ifodalagan.
[3]
 
Misrliklar
 
misr
kasrlaridan
 eramizdan avval taxminan 1000-yillarda foydalanishgan. Taxminan 4000 yil avval
misrliklar sonlarni kasr bilan boʻlish uchun bir oz boshqacha uslublardan foydalanishgan. Ular
surati bir boʻlgan kasrlar ustida amallar bajarish uchun eng kichik umumiy boʻluvchidan
foydalanishgan. Ularning uslublari zamonaviy uslublar bilan bir xil natijalar bergan.
[4]
Yunonlar
 surati bir boʻlgan kasrlardan foydalanishgan. Eramizdan avvalgi taxminan 530-yilda
yunon faylasufi 
Pifagorning
shogirdlari ikkining 
kvadrat ildizini
kasr koʻrinishida yozib
boʻlmasligini aniqlashgan. Eramizdan avvalgi taxminan 150-yilda 
hindistonlik
 
jainchi
matematiklar
„Sthananga sutra“ (talaffuzi: Sananga sutra) asarini yozishgan. Bu asarda sonlar teoriyasi,
arifmetik amallar va kasrlar ustida amallar haqida yozilgan.
Bir sonni ikkinchisi ostida yozish va kasrlarni hisoblash usullari bizning eraning 499-yili atrofida
Aryabhatta
yozgan asarda uchraydi. 
Sanskrit
adabiyotlarda kasrlar yoki 
ratsional sonlar
doim
butun son va uning ketidan kasr son koʻrinishida yozilgan. Kasr son butun son yozilgan qatorning
ostiga yozilgan. Kasrning oʻzi ikki qatorda yozilgan. Birinchi qatorda yozilgan surat amsa deb
atalgan, ikkinchi qatorga yozilgan maxraj cheda deb atalgan. Agar kasr biron-bir boshqa belgisiz
yozilgan boʻlsa, demak bu kasrni yuqoridagi butun songa qoʻshish kerak boʻlgan deb tushuniladi.
Agar kasrning oʻng tarafiga kichkina aylana yoki „+“ belgisi qoʻyilgan boʻlsa, bu kasrni butun
sondan ayirish kerak boʻlgan deb tushuniladi. Masalan, hind matematigi 
Bhaskara I
quyidagicha
yozgan:
६
१
२
१
१
१
०
४
५
९
Yaʼni,
6 1 2
1 1 1
०
4 5 9
yozuvi 6+1/4, 1+1/5 va 2-1/9 ni ifodalagan.
Oʻrta asrlarda
yashagan 
marokashlik
 
musulmon
matematik 
Abu Bakr al-Hassar
birinchi marta
surat va maxrajni ajratuvchi gorizontal chiziq haqida yozgan. Oʻz asarida al-Hassar: „…masalan,
agar sizga beshdan uch va beshdan birning uchdan birini yoz deyishsa, bunday deb yozing: 
.“
[5]
 Kasrni shu uslubda yozish ozginadan keyin 13-asrda 
Leonardo Fibonaccining
ishlarida
ham uchraydi.
[6]
Oʻnli kasrlarning
kelib chiqishi haqida 
Dirk Jan Struik
bunday deb yozadi:
[7]

---

"Oʻnli kasrlarni hisobda ishlatishni keng foydalanishga kirgizgan
asar deb 1585-yil Leydenda chop etilgan De Thiende flamand
pamfletini aytish mumkin. Oʻsha paytda Niderlandiyada yashagan
matematik Simon Stevin (1548-1620) asarni fransuz tiliga oʻgirgan.
Xitoy matematiklari oʻnli kasrlardan Stevindan bir necha asr avval
foydalanishgani rost. Fors astronomi Al-Kashi „Arifmetika kaliti“
asarida oltmishli sanoq sistemasidan va oʻnli kasrlardan
foydalangani ham rost. (15-asr boshlari, 
Samarqand
)
[8]
"
Fors matematigi 
Jamshid al-Kashi
oʻnli kasrlarni 15-asrda oʻylab topganman deb aytsa ham, J.
Lennart Berggrenga koʻra u adashgan. Chunki oʻnli kasrlar undan 5 asr oldin, yaʼni 10-asrda
yashagan 
Bogʻdodlik
matematik 
Abu'l-Hasan al-Uqlidisi
ishlarida uchraydi.
[9]
Matematika
tarixchilari orasida al-Uqlidisi birinchilardan boʻlgani haqida har xil qarashlar boʻlsa ham, uning
oʻnli kasr tushunchasiga katta hissa qoʻshganiga shubha yoʻq.
[10]
1. H. Wu, The Mis-Education of Mathematics Teachers, Notices of the American
Mathematical Society, Volume 58, Issue 03 (March 2011), 
page 374 (http://www.ams.org/
notices/201103/rtx110300372p.pdf#page374)
2. Galen, Leslie Blackwell (March 2004), 
"Putting Fractions in Their Place" (http://www.integr
etechpub.com/research/papers/monthly238-242.pdf)
, American Mathematical Monthly
111 (3), 
http://www.integretechpub.com/research/papers/monthly238-242.pdf
3. Eves, Howard An introduction to the history of mathematics, 6th ed., Philadelphia:
Saunders College Pub., 1990.. 
ISBN 0-03-029558-0
. 
4. Milo Gardner (12-11-2008). 
Egyaptian Math History (http://egyptianmath.blogspot.com)
.
10-02-2013.
5. Cajori, Florian (1928), 
A History of Mathematical Notations (Vol.1) (http://ia700506.us.arc
hive.org/9/items/historyofmathema031756mbp/historyofmathema031756mbp.pdf)
, La
Salle, Illinois: The Open Court Publishing Company, p. 269,
http://ia700506.us.archive.org/9/items/historyofmathema031756mbp/historyofmathema
031756mbp.pdf
. (
Cajori 1928
, pg.89)
7. A Source Book in Mathematics 1200-1800. New Jersey: Princeton University Press,
1986.. 
ISBN 0-691-02397-2
. 
Manbalar

---

Sonlar haqida tushuncha (http://fikr.uz/posts/sciencedu/3939.html)
 
Arxivlandi (https://we
b.archive.org/web/20120619041010/http://fikr.uz/posts/sciencedu/3939.html)
 2012-06-
19
Wayback Machine
saytida., fikr.uz
Ulushlar (http://itest.uz/topics.php?section=Oddiy%20kasrlar&fan2=matematika&category
2=Kasrlar§ion_key=3&fan_turi_key=3&category_key=2)
[sayt ishlamaydi], itest.uz
Kasr (http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fraction)
, Onlayn matematika
ensiklopediyasi 
(ingl.)
Kasr (http://en.citizendium.org/wiki/Fraction_%28mathematics%29)
, Citizendium 
(ingl.)
Ko‘proq o‘rganish
Ushbu maqolada 
Oʻzbekiston milliy ensiklopediyasi
 (2000-2005)
maʼlumotlaridan foydalanilgan.
"
https://uz.wikipedia.org/w/index
.php?title=Kasr&oldid=2175135
" 
dan olindi
. Die Rechenkunst bei Ğamšīd b. Mas'ūd al-Kāšī. Wiesbaden: Steiner, 1951.. 
9. Berggren, J. Lennart "Mathematics in Medieval Islam", The Mathematics of Egypt,
Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press, 2007. —
s. 518. 
ISBN 978-0-691-11485-9
. 
10. 
Abu'l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biog
raphies/Al-Uqlidisi.html)
. 10-02-2013.
Havolalar

---

Soʻnggi tahrir 6 oylar avval InternetArchiveBot tomonidan amalga oshirildi
Matndan CC BY-SA 3.0  litsenziyasi boʻyicha
foydalanish mumkin (agar aksi koʻrsatilmagan
boʻlsa).