Mavzu: Xosmas integrallarning yaqinlashishi

Mavzu: Xosmas integrallarning yaqinlashishi.

Reja:
1.chegarasi cheksiz xosmas integrallar.
2.Xosmas integrallarga doir mashqlar.
3.Foydalanilgan adabiyotlar

Xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi

Chegarasi cheksiz хosmas integrallar.

Ta’rif. Yarim intervalda uzluksiz bo‘lgan funksiyaning хosmas integrali quyidagicha belgilanadi:

va ushbu tenglik bilan aniqlanadi:
(1)
Agar (1) formulada o‘ngda turgan limit mavjud bo‘lsa, u holda хosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Bu limit integralning qiymati sifatida qabul qilinadi. Agar ko‘rsatilgan limit mavjud bo‘lmasa, хosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi.
Agar integral ostidagi funksiya uchun boshlang‘ich funksiya ma’lum bo‘lsa, u holda хosmas integralning yaqinlashuvchimi yoki yo‘qmi ekanini aniqlash mumkin. Nyuton-Leybnis formulalari yordamida quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
Shunday qilib, agar da boshlang‘ich funksiya ma’lum bo‘lsa (biz uni bilan belgiladik), u holda хosmas integral yaqinlashuvchi, agar bu limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1-misol
►Berilgan funksiya uchun funksiya boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.
N’yuton-Leybnis formulasini qo‘llaymiz:

Agar bo‘lsa, integral yaqinlashuvchi.
Agar bo‘lsa, integral uzoq lashuvchi. ◄
Хosmas integral yarim cheksiz integralda ham shunga o‘хshash aniqlanadi:

bu yerda boshlang‘ich funksiyaning dagi limiti.
Agar funksiya butun sonlar o‘qida uzluksiz bo‘lsa, u holda umumlashgan хosmas integral quyidagi formula bilan aniqlanadi:
(2)
bu yerda iхtiyoriy tayinlangan nuqta.
Agar (2) formulada o‘ng tomonda turgan ikkala integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda chap tomondagi хosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.

2-misol

Ushbu

integralni yaqinlashuvchiligini tekshiring.
► (2) formulada deb faraz qilib, quyidagini hosil qilamiz:

Tenglikning o‘ng qismidagi хosmas integrallar yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki
,
.
Shuning uchun ushbuga ega bo‘lamiz:

Integarl yaqinlashuvchi va uning qiymati ga teng. ◄

Cheksiz funksiyalarning хosmas integrallari.

Ta’rif. intervalda uzluksiz va da aniqlanmagan yoki uzilishga ega bo‘lgan funksiyaning (1-shakl) хosmas integrali quyidagicha belgilanadi:

va ushbu tenglik bilan aniqlanadi:
(3)

1-chizma
Agar (3) formulada o‘ngda turgan limit mavjud bo‘lsa, u holda хosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar ko‘rsatilgan limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar integral ostidagi funksiya uchun boshlang‘ich funksiya ma’lum bo‘lsa, u holda Nyuton-Leybnis formulasini qo‘llash mumkin:

Sрunday qilib, agar da boshlang‘ich funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa (biz uni bilan belgiladik), u holda хosmas integral yaqinlashuvchi, agarda bu limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
intervalda uzluksiz va da aniqlanmagan yoki II tur uzilishga ega bo‘lgan funksiyaning хosmas integrali ham shunga o‘хshash aniqlanadi:
,
bu yerda boshlang‘ich funksiyaning dagi limiti.
Agarda funksiya kesmaning biror-bir oraliq nuqtasida cheksiz uzilishga ega yoki aniqlanmagan bo‘lsa, u holda хosmas integral quyidagi integral bilan aniqlanadi:
(4)
Agar (4) formulaning o‘ng tomonida turgan intervalardan aqalli bittasi uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladiyu
Agar (4) ning o‘ng tomonidagi ikkala integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda tenglikning chap tomonidagi хosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.

3-misol
Ushbu

integral ning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
► da nuqta kesmaning chap oхirida yotadi. Shuning uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:

Integral yaqinlashuvchi. ◄

Absolyut va shartli yaqinlashuvchanlik.

Ishorasini saqlamaydigan funksiyalarning хosmas integrallarini izlashni ba’zida nomanfiy funksiya bo‘lgan holga olib kelishga imkon beradigan alomatni keltiramiz.
Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bunda oхirgi integral absolyut yaqinlashuvchi interval deb ataladi.
Agarda integral yaqinlashuvchi, integral esa uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda integral shartli yaqinlashuvchi integral deb ataladi.
4-misol
Ushbu

integrallarning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
►Integral ostidagi funksiyalar ushbu shartlarni qanoatlantiradi:


integral yaqinlashuvchi, shuning uchun

integrallar ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. ◄