Mavzu: Xosmas integrallar Reja: Kirish I. Cheksiz oraliq bo’yicha xosmas integrallar va ularning yaqinlashuvchiligi tushunchasi

2.2. Xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligi haqida teoremalar.
funksiya oraliqda berilgan bo’lib ,ixtiyoriy da bo’lsin .
1-teorema. funksiya xosmas integrali ning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun , da const) bo’lishi zarur va yetarli .
2-teorema . va funksiyalar da berilgan bo’lib da

bo’lsin. U holda yaqinlashuvchi bo’lsa , ham yaqinlashuvchi bo’ladi ; uzoqlashuvchi bo’lsa , ham uzoqlashuvchi bo’ladi .
3- teorema . va funksiyalar da , bo’lib ,

bo’lsin. Agar va integral yaqinlashuvchi bo’lsa , integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi .
Agar va integral uzoqlashuvchi bo’lsa , integral ham uzoqlashuvchi bo’ladi .
Demak , agar bo’lsa , yuqoridagi integrallar bir vaqtda yaqinlashadi yoki uzoqlashadi .
4- teorema .Agar ning yetarli kata qiymatlarida

bo’lsa , u holda uchun va bo’lganda
integral yaqinlashuvchi , va bo’lganda integral uzoqlashuvchi bo’ladi .
5-teorema .Agar da funksiya ga nisbatan tartibli cheksiz kichik bo’lsa ,u holda integral bo’lganda yaqinlashuvchi , bo’lganda esa uzoqlashuvchi bo’ladi .
funksiya oraliqda berilgan bo’lsin .
6-teorema (Koshi teoremasi ) Quyidagi

xosmas integralning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun , son olinganda ham , shunday son topilib , , bo’lgan ixtiyoriy lar uchun

tengsizlikning bajarilishi zarur yetarli .
7- teorema .Agar integral yaqinlashuvchi bo’lsa ,u holda integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi .
3-ta’rif .Agar integral yaqinlashuvchi bo’lsa , u holda
absolyut yaqinlashuvchi integral deyiladi, funksiya esa da absolyut integrallanuvchi funksiya deyiladi .
4-ta’rif. Agar integral yaqinlashuvchi bo’lib , integral uzoqlashuvchi bo’lsa , u holda shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi .
8- teorema (Dirixle alomati ). funksiyalar oraliqda berilgan bo’lib , ular quyidagi shartlarni bajarsin :

1. 
   funksiya da uzluksiz va uning shu oraliqdagi boshlang’ich funksiyasi chegaralangan ,
   
2. 
   funksiya da xosilaga ega va y uzluksiz funksiya ,
   
3. 
   funksiya da kamayuvchi ,
   
4. 
   
   

U holda

Integral yaqinlashuvchi bo’ladi .
10-misol. Ushbu

integralning yaqinlashuvchiligini ko’rsating .Bu integral uchun

bo’lib , da

bo’ladi . Unda 1-teoremaga ko’ra berilgan integral yaqinlashuvchi bo’ladi .
11-misol . Ushbu

integralning yaqinlashuvchanligini ko’rsating .Ravshanki , uchun

bo’ladi . Unda

ning yaqinlashuvchi bo’lishini e’tiborga olib ,2-teoremaga binoan

ning ham yaqinlashuvchi ekanligini topamiz .
Ravshanki ,

Demak , berilgan xosmas integral yaqinlashuvchi .
12- misol . Ushbu

integralni yaqinlashuvchilikka tekshiring . Bu xosmas integral bilan birga

integralni qaraymiz . Keyingi integralning uzoqlashuvchi ekani ravshan .
Endi

bo’lishini e’tiborga olib ,3-teoremadan foydalanib ,berilgan xosmas integralning uzoqlashuvchi ekanini topamiz .
13-misol .Ushbu

integralning yaqinlashuvchiligini ko’rsating . Integral ostidagi funksiya uchun

bo’lib , da , ya’ni

bo’ladi. 5-teoremaga ko’ra berilgan integral yaqinlashuvchi bo’ladi .
14- misol . Ushbu

xosmas integralning yaqinlashuvchiligini isbotlang .
Integral ostidagi funksiyani quydagicha yozamiz :

Bu yerda
,
Bu funksiyalar 8- teoremaganing (Dirixle alomati ) barcha shartlarini qanoatlantiradi :

1. 
   funksiya da uzluksiz va boshlang’ich funksiya chegaralangan .
   
2. 
   funksiya da xosilaga ega va u uzluksiz .
   
3. 
   funksiya oraliqda kamayuvchi .
   
4. 
   . Demak , 8-teoremaga ko’ra berilgan xosmas integral yaqinlashuvchi .
   

15-misol . Ushbu

xosmas integralning shartli yaqinlashuvchiligini ko’rsating .
Bu integralning yaqinlashuvchiligi yuqorida keltirilgan 14-misoldan kelib chiqadi.
Endi

Integralni qaraymiz .
Ravshanki ,

Unda ixtiyoriy uchun

Ma’lumki ,

Agar ning uzoqlashuvchiligini , ning esa yaqinlashuvchiligini e’tiborga olsak , unda (3) tenglikda da limitga o’tib , xosmas integralning uzoqlashuvchiligini topamiz .
Demak , qaralayotgan integral shartli yaqinlashuvchi .
16- misol . Ushbu

integralning absolyut yaqinlashuvchiligini ko’rsating .
Integral ostidagi funksiya uchun ixtiyoriy da
│
bo’ladi. Ravshanki,
dx
yaqinlashuvchi integraldir. Unda 1- teoremaga binoan
dx
integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi. 7- teoremadan esa
dx
ning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. Demak, berilgan integral absolyut yaqinlashuvchi.

Xulosa
Xulosam shuki, bu kurs ishimni yozish mobaynida men juda ko’p ma’lumotlarga ega bo’ldim,bilgan bilimlarimni takrorlab mustahkamlab oldim. Xosmas integrallarni afzallik tomonlarini bilib oldim. Hosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamalarning tadbiqlari usullari formulalri to’g’risida chuqur bilim va ko’nikmalarga ega bo’ldim .
Oliy ta’lim muassasalarida Matematik analiz kursini o’qitish jarayonida Xosmas integrallar va ularni yechish usullari mavzusini o’rganishda talabalar faolligini oshirish shakllantirishda dastlab nazariy tushunchalar ta’riflar ustida ishlash, umumlashtirish va konkretlashtirishga o’rgatish hosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamalarni yechish tadqiq etish hamda hamda ularning qo’llanilishiga doir misol masalalarni yecha olishga o’rgatish muhim o’rinni egallaydi.
Talabalar faolligini oshirish uchun Xosmas integrallar mavzusiga doir mashq va topshiriqlar bajarish bosqichlari asosida o’rgatish, ular yordamida tahlil qilish, tadqiqot o’tkazish ularning mantiqiy matematik faoliyat tadbiqlarini talabalarning amaliy faoliyatda zaruriyligi va qo’llash usullariga o’rgatishda talabalarning bilim saviyalarining oshishiga va fikrlashlarini oshishiga ijobiy ta’sir ko’rsatadi.
Xosmas integrallar mavzusiga oid konkret mashqlar va masalalar yechish jarayonida nazariy mantiqiy savollardan foydalanish na faqat talabalarning mantiqiy tafakkur ko’nikmalarini rivojlantirishga, balki nazariy qoida va formulalarning tadbiqlarining o’zlashtirilishini ta’minlaydi va ularni bosqichma-bosqich tafakkur usullari mohiyatini tushunishlariga hizmat qiladi.
Talabalar faolligini oshirishda Xosmas integrallar mavzusining xossalari va ularning masalalar yechishga qo’llash usullari haqidagi bilimlar va ko’nikmalarni shakllantirishda yangi pedagogik texnologiyalarni qo’llash loyihalash usuli, axborot- kommunikativ vositalardan foydalanish, turli interfaol dars usullarini qo’llashi, bunda talabalarning turli imkoniyatlardan foydalana olishi, tayyorlovchi savol va topshiriqlardan o’rinli foydalana olishini talab etadi.
Talabalarning Xosmas integrallar mavzusini o’rganishda tenglamaning yainlashishi uzoqlashishi xossalarini o’rganish ko’nikmalarini shakllantirishda turlicha savol va topshiriqlar, loyihalar Matematik analiz kursini o’qitishda talabalarda na faqat puxta bilimlar egallashlariga balki talabalar faolligini oshirish asosida ularning fikrlash ko’nikmalari, isbotlash usullari, Xosmas integrallar to’g’risidagi bilimlarni mustahkamlashga, mantiqiy asoslash va tadqiq etishni talab etadigan tavsiyalardan foydalanishlari muhim ta’sir ko’rsatadi.