Мавзу. Вектор фазолар изоморфизми Режа. Векторнинг берилган базисга нисбатан координаталари. Вектор фазолар изоморфизми

ТЕОРЕМА 2. Айтайлик, V – F майдон устидаги n ўлчамли вектор фазо ва n>0 бўлсин. У ҳолда, V вектор фазо Fⁿ арифметик вектор фазога изоморф бўлади.

Исбот. Фараз қилайлик, – V вектор фазонинг базиси ва f: V → Fⁿ акслантириш

f(a)= (α₁, . . . ,α_n)

кўринишида бўлсин, бунда . Айтайлик,

(γ₁,…,γ_n) - Fⁿ дан олинган ихтиёрий вектор бўлсин. У ҳолда, γ₁b₁+…+ γ_nb_n вектор f нинг прообрази бўлади. Бундан, f нинг V дан Fⁿ нинг устига акслантириш бўлиши келиб чиқади. Бундан ташқари, теореме 1 га кўра, f -инъектив акслантириш бўлади. Демак, f - биектив акслантириш бўлади.

Энди f нинг чизиқли акслантириш эканлигини кўрсатайлик. Ҳақиқатдан ҳам агар ва бўлса, у ҳолда

ва

f(,…,) = f(a)+f(b).

Шунингдек, агар λF бўлса, у ҳолда

ва

.

Демак, f чизиқли акслантириш экан. Шундай қилиб, f изоморфизм экан. □

Натижа 1. Айтайлик, V – F майдон устидаги нол бўлмаган чекли ўлчамли (фиксирланган базисли) вектор фазо бўлсин. V дан олинган векторлар системаси чизиқли боғлиқ бўлиши учун, уларнинг берилган базисга нисбатан координатлар сатрларидан (устунларидан) ташкил топган векторлар системаси, чизиқли боғлиқ бўлиши зарур ва етарли.

Натижа 2. Айтайлик, V – F майдон устидаги чекли ўлчамли (фиксирланган базисли) вектор фазо бўлсин. V дан олинган векторлар системасининг ранги, уларнинг берилган базисга нисбатан координатлар сатрларидан (устунларидан) ташкил топган векторлар системасининг рангига тенг.

Вектор фазолар изоморфизмларининг қуйдаги хоссаларини қарайлик.

- вектор фазолар бўлсин.

Хосса 1. Агар ва акслантиришлар изоморфизм бўлса, у ҳолда уларнинг композицияси ҳам изоморфизм бўлади.