Mavzu: Unitar fazolardagi chiziqli operatorlar

Isboti. A chiziqli operatorning ortonormal bazisdagi matrisasi bo’lsin. U holda deb yoza olamiz. Bu bazisda matrisaga ega bo’lgan chiziqli operatorni g bilan belgilaymiz’ u holda

.

Endi va bichiziqli formalarni qaraymiz. Har bir va uchun

, tengliklardan , ya’ni ni hosil qilamiz.

Bundan esa kelib chiqadi.

Normal operatorlar. Agar chiziqli operator uchun bo’lsa ga normal operator deb ataladi.

Agar normal operator bo’lsa, va lar umumiy xos vektor e ga ega bo’ladi unga mos keluvchi xos sonlar lar qo’shma kompleks sonlardir.

Haqiqatan ham bo’lsin ekanligini ko’rsatamiz.

dan yoki

Demak , yoki

Endi ushbu teoremani isbotlaymiz

Teorema. Chekli o’lchamli unitar L fazodagi f chiziqli operator uchun xos vektorlardan iborat ortonormal bazis mavjud bo’lishi uchun uning normal bo’lishi zarur va kifoyadir.

Isboti. Zaruriyligi. f chiiziqli operator uchun uning xos vektorlaridan tuzilgan ortanormal bazis va ularga mos xos sonlar bo’lsin. f ning normal ekanligini ko’rsatamiz.

f bu bazisda A= matrisaga, esa A=

matrisa bilan beriladi.

bo’lgani uchun , ya’ni f normal chiziqli operator.

Yetarli ekanligi. Tasdiqni L unitar fazoning o’lchami bo’yicha matematik induksiya metodini qo’llab isbotlaymiz. n=1 da teorema o’rinli. n>1 bo’lsin yuqorida isbotlanganiga asosan va lar umumiy xos vektorga ega. bo’lsin. U holda bo’ladi. fazo va larga nisbatan invariant. Haqiqatan ham, agar bo’lsa, u holda

va

.

Induktivlik farazimizga ko’ra L da operatorning xos vekktorlaridan tuzilgan ortonormal bazis mavjud. U holda vektorlar sistemasi L da ning xos vektorlaridan tuzilgan ortonormal bazis bo’ladi.

Misol. 1541. Agar tekislikning ortonormal bazisi bo’lib akslantirish bazisda matrisa bilan berilgan shu bazisda ning matrisasini toping.