Мавзу: Тригонометрик функциялар ва уларнинг асосий хоссалари

y = 1+ sin x

-1  sin x  1
-1+1  1+sin x  1+1
0  1 + sin x  2
E(y) = [0;2]
Жавоб : [0;2]

3. 
   у = 2 sin x + 3
   

-1 sin x  1
- 2  2 sin x  2
-2 + 3 2 sin x + 3  2 + 3
1 2 sin x +3  5
1 y  5
E(y) = [1;5]
Жавоб : [1;5]
5) у = sin2x cos2x + 2
у = 1/22sin2x cos2x + 2
Иккиланган бурчакнинг синуси формуласига кура
у = 1/2 sin 4x +2
-1 sin 4x  1
-1/2  1/2sin 4x  1/2
-1/2+2  1/2 sin 4x +2  1/2+2
3/2  y  5/2
E(y) = [1,5; 2,5]
Жавоб: [1,5; 2,5]
№ 318. Функцияларнинг аникланиш сохасини топинг.

1. 
   у = 1/ cos x cos x  0
   

x  2 + n, n
Жавоб: x  2 + n, n.

3. 
   у = tg x/3 x/3   2 + n, n
   

x  3 2 + 3n, n
Жавоб : x  32 + 3n, n
№ 319. Функцияларнинг аникланиш сохасини топинг
1) у = sin x + 1 илдиз остидаги ифода номанфий кийматларда аникланган.
Sin x + 1  0
sin x  -1
-1 sin x  1
x ихтиёрий сон учун -1 sin x шарт бажарилаяпти.
Жавоб : хR
№ 325. Берилган функцияларнинг жуфт ёки ток эканлигини аникланг

1. 
   у = cos 3x
   

f(x) = cos 3x
f(-x) = cos 3(-x) = cos (-3x) = cos 3x = f(x).
Демак, функция у = cos 3x жуфт функция.
Жавоб: жуфт.
3) у = x / 2 tg²x
f(x) = x / 2 tg²x
f(-x) = -x / 2 tg²(- x) = -x / 2 tg²x = -f(x), демак функция
у = x / 2 tg²x ток функция.
Жавоб: ток
5) у = х sin x
f(x) = х sin x
f(-x) = -х sin(-x) = -x  (-sin x) = x sinx = f(x), демак функция у = х sin x жуфт функция.
Жавоб: жуфт.
№ 326. Берилган функцияларнинг жуфт ёки ток эканлигини аникланг.
1) у = sinx +x
f(x) = sinx +x
f(-x) = sin(-x) +(-x) = -sin x - x = -(sinx + x) = -f(x)
Жавоб: ток.

3. 
   у = 3 - cos(2+x)sin(- x)
   

f(x) = 3 - cos(2+x)sin(- x)
f(-x) = 3  cos(2+(-x))sin( (x)) =
3  cos(хsinx  cos(xsinx cosxsinx
Демак, функция на ток на жуфт
Жавоб: жуфт хам эмас, ток хам эмас

5. 
   у=sinxx  sinxcosx
   

f(x) =sinxx  sinxcosx
f(x)=sinxx sinx)cos(x)sinx(x) sinxcosx) = sinxxsinxcosx
Жавоб: жуфт хам эмас, ток хам эмас
№327. Берилган функция даври 2 булган даврий функция эканини исботланг.
1) у = cosx 
f(x) = cosx 
f(x)cos(xcosx) 
келтириш формуласига кура cosx) =сos x
f(x) cos x = f(x)

3. 
   y = 3 sinx
   

f(x) = 3sinx
f(xsinx sinx=3sinx = f(x)

5. 
   y =sin(x
   

f(x) =sin(x
f(x) =sin(xsinxsin(x=f(x)
№328.Берилган функция даври Т булган даврий функция эканини исботланг, бунда:
1) у=sin 2x , T=
f(x)=sin 2x
f(xsin2(x sin(2x)= sin2x = f(x)

3. 
   y =tg 2x, T=
   

f(x) = tg 2x
f(x+) = tg 2(x+) =tg( 2x+) = tg(+2x) = tg 2x = f(x).
№ 329 Берилган функция жуфт ёки ток эканлигини аникланг:
1) у = (1cosx)(1+cosx)
f(x) = (1cosx)(1+cosx)
f(x)=(1cosx))(1+cosx) (1cosx)(1+cosx) = f(x)
Жавоб: жуфт
3) у = (cos2xx²)sinx
f(x) = (cos2xx²)sinx
f(x) = (cos2(x)x²)sinx) = (cos(2x) x²) sinx
= (cos2xx²)(sinx) = f(x)
Жавоб: ток
5) у = 3^cosx
f(x) =3^cosx
f(x) =3^{cosx} =3^cosx = f(x)
Жавоб: жуфт
6) у = х|sinx| sin³x
f(x) = х|sinx| sin³x
f(x) = х|sinx| sin³x= х|sinx| (sin³x= х|sinx| sin³x= =f(x)
Жавоб: жуфт


У й г а в а з и ф а :
№ 316. Функциянинг аникланиш сохасини топинг.

2. 
   у = cos (x/2)
   

4) y = sin (2/x)

6. 
   y = cos(xx
   

№ 317. Функциянинг кийматлар тупламини топинг.

2. 
   у = 1сos x
   

4) y = 14cos2x
6) y = 1/2 sinxcosx
№ 318. Функцияларнинг аникланиш сохасини топинг.

2. 
   y = 2/sinx
   

4) y = tg5x
№ 319. Функцияларнинг аникланиш сохасини топинг
2) y = cosx
№ 325. Берилган функцияларнинг жуфт ёки ток эканлигини аникланг

2. 
   y = 2sin4x
   

4) y = xcos(x/2)
6) y = 2 sin²x
¹ 326. Берилган функцияларнинг жуфт ёки ток эканлигини аникланг.
2) y = cos(xx^
4) y = cos2xsinx
6) y = x²cosx)
№327. Берилган функция даври 2 булган даврий функция эканини исботланг.
2) y =sin x
4) y = cosx/2
6) y = cos(x
№328.Берилган функция даври Т булган даврий функция эканини исботланг, бунда:
2) y = cos(x/2) , T = 4
4) y = sin(x/5) , T =(
№ 329 Берилган функция жуфт ёки ток эканлигини аникланг:
2) y = sin²x /(1cos2x)

4. 
   y =(x³sin2x)/cosx
   

Мавзу: Асосий тригонометрик функцияларнинг йигиндиси ва айирмасини купайтмага алмаштириш. Бу функцияларининг купайтмасини йигиндига алмаштириш.
sin  sin  sin(cos( (1)
sin  sin  cos(sin( (2)
cos  cos  coscos (3)
cos  cos  sinsin=
2sinsin (4)
Икки бурчак йигиндиси ва айирмаси синуси муносабатларини хадма-хад кушайлик:
sin(sincoscossin
sin(sincoscossin
sin(sin(2sincos бундан,
sincos= sin(sin( 
coscos  cos(cos( 
sincos  cos(cos( 
tg  tg  sincossincos 
 sincoscossin sincos sin(coscos,
k, k (8)
cossin   cos (9)
cossin   sin (10)
tg  tg  sin(/coscos, k, k (10)
ctg  ctg = sin(/sinsin, k, k (11)
ctg  ctg = sin(/sinsin, k, k (12)
tg  ctg cos())cossin (13)
tg ctg cos())cossin (14)

№277 (А.У.Абдухамидов, Х.А.Насимов «Алгебра ва математик анализ асослари» 114 бет)

1)2sin22cos122sinsin =sinsin
2)sinxsin(xcos(xxcos(xx
=cos1cos(2x1))
¹278
1)cos80cos40cos20=cos20cos40cos80=
=2sin20cos20cos40cos80sin 2sin40cos40cos80sin= sin80cos80sin
 sin80cos80sin sin160sin
=sin(180sinsin20sin
№279. Купайтма куринишида тасвирланг.

1. 
   cos 43cos37  cos(43+37) / 2  cos(4337)/2 = =2cos40cos3
   

3) sin76sin26 2sin(76cos(76+26)/2 =
=2sin25cos56
№194. (Ш.О.Алимов «Алгебра ва математик анализ асослари» 50-53 бетлар) Ифодани соддалаштиринг.
1)sin(  sin(sin( 
cos(sincos= coscos
3)sin²(sin²(sin(sin(
 sin(sin(2sincossincos=
=2sincossin
¹195. Хисобланг.
1)сos 105cos2cos(105+75)/2 cos(10575)/2=
=2cos90cos30
3)cos()  cos51) = 2 cos(+51)/2
 cos(51)/2 cos16cos62cos(2)
cos() =2
5)sin(7sin(1) = 2sin()cos(=2
=
¹196. Купайтмага алмаштиринг.
1)1+2sin2(1/2+sinsin30+sin2sin(30+)/2
cos(30 sin(30+)/2cos(30=
=4sin(15cos(15
3)1+2coscoscos60cos=
=4cos(30cos
№197. Айниятни исботланг.
Айниятни исботлаш деганда,
1)берилган тенгликнинг чап томондаги ифодасидан унг томондаги ифодани келтириб чикариш ,ёки
2)унг томонидаги ифодасидан чап томондаги ифодани келтириш, ёки

3. 
   чап ва унг томондаги ифодаларнинг хар бирининг бир ифодага тенглигини курсатишни тушунамиз.
   

1.Синуслар ва косинуслар йигиндиси формуласидан фойдаланиб,тенгликнинг чап томонини соддалаштирамиз (sinsin3(coscos3)=
=2sin2cos( 2cos2cos(= sin2cos2=tg2
Тенгликнинг унг томонидаги ифодани хосил килдик. Айният исботланди.
№198. Ифодани соддалаштиринг.
1.2(coscos sin2sin4
 cos2cossin2sin2sin4
 4coscossin2sin3cos=
 4cos2cossincossin3cos
= 4cossinsin3cos2sinsin3
2cos2sin2coscos2sin2cosctg2cos
1. (иккинчи уcyли)
1+cos22cos² (*) 1cos22sin² (**) формулалардан фойдаланамиз.
2(coscos sin2sin4
=сos2cos(sin2sin2cos
4cos2cos(sin2cos
2cos2cossin2cos²cos2sin2cos
cos2sin2cosctgcos
¹ 199 Айниятни исботланг.
1.соs⁴sin⁴sin2   cos
соs⁴sin⁴sin2 cos²sin²cos²sin²sin=
=cos2sin
 cos =  (coscossin2sin
cos2  sin2  cos2  sin
берилган тенгликнинг чап ва унг томони cos2  sin га тенг.Айният исботланди.


У й г а в а з и ф а :
№194. (Ш.О.Алимов «Алгебра ва математик анализ асослари» 50-53 бетлар) Ифодани соддалаштиринг.
2)сos  cos
4)cos²(  cos²
¹195. Хисобланг.
2)sin 105 sin 75
4)cos  cos
6)sin105 sin165
¹196. Купайтмага алмаштиринг.
2)1sin
4)1sin
№197. Айниятни исботланг.
2)(sin2  sin4  cos2cos4  ctg.
¹198. Ифодани соддалаштиринг.
2)(1+sincos2sin3(sin²sin)
¹ 199 Айниятни исботланг.
2)coscoscos.


Мавзу: Тригонометрик тенгламалар ва уларни ечиш.
Дарслик. Ш.О.Алимов. «Алгебра ва анализ асослари»
53-75 бетлар
1.cos x = a тенглама.
2.sin x = a тенглама.
3.tg x = a тенглама.
4.Тригонометрик тенгламаларни ечиш.


1. cos x = a тенглама.
Косинуснинг кийматлари  ораликда жойлашган, яъни  cos 1. Шунинг учун, агар а булса, cos x = a тенглама илдизга эга эмас. Масалан, cos x =  тенглама илдизга эга эмас.
а сонининг арккосинуси деб, косинуси а га тенг булган  сонга айтилади:
arccos а  бунда cos а ва      (1)
cos x = a (бунда  a  ) тенгламанинг барча илдизлари
х =  arccos аn, n (2)
формула билан ифодаланиши мумкин.
Исталган а учун куйидаги формула уринли:
arccos a) =  arccos a (3)
cos x = 0 x = n, n (4)
cos x = 1 x = n, n (5)
cos x = x = n, n (6)
 a   буладиган a нинг барча кийматларида
cos(arccos a) = a тенглик бажарилади.
     да arccos( cos   булади.
cos x = a, х - абсцисса
х = n 1)cosx = 0,



cos x = 1, x = 2n, n

cosx = ,
x = n, n


¹ 204. Хисобланг.
1) arccos 0 =  3) arccos  

5. 
   arccos  
   

¹205. Хисобланг.
1)2arccos0  arccos1 =     
3)12arccos  3arccos()  ()  
¹ 206. Сонларни таккосланг.
1)arccos  ва arccos
  arccos   
 arccos  
Демак, arccos   arccos
№ 207. Тенгламани ечинг.
1)cos x = 
x =  arccos a  n, n
x =  arccos   n, n
x =  n, n
Жавоб:  n, n