Mavzu: To‘plamlar ustida amallar. To‘plаmlаr ustidаgi аmаllаrning хоssаlаri. To‘plamlarning dekart ko`paytmasi. To‘plamlarni sinflarga ajratish

Mavzu: To‘plamlar ustida amallar. To‘plаmlаr ustidаgi аmаllаrning хоssаlаri. To‘plamlarning dekart ko`paytmasi. To‘plamlarni sinflarga ajratish.
TO'PLAMLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR
Tayanch iboralar:To'plam, to'plam osti, bo'sh to'plam, chekli va cheksiz to'plamlar, birlashma, kesishma, ayirma, to'ldiruvchi to'plam osti, universal to'plam , sonli to'plamlar, to'plamni o'zaro kesishmaydigan to'plam ostilarga ajratish.
"To'plam" tushunchasi-matematika kursining asosiy tushunchalaridan biridir. (Matematikada asosiy tushunchalar deganda ta'riflanmaydigan tushunchalar tushuniladi. Masalan, maktab kursidan ma'lumki, geometriyaning asosiy tushunchalari quyidagilar hisoblanadi: nuqta, to'g'ri chiziq, tekislik va masofa).To'plam tushunchasini faqatgina misol orqali tushuntirish mumkin. Misol, birinchi kurs talabalari to'plami, Buxoroda yashovchilar to'plami, jismning molekulalar to'plami, fermer xo’jaligidagi qo'ylar to'plami, tekislikdagi nuqtalar to'plami va hokazo. Odamlar bularga bolaligidan o'rganib qolgani uchun ularni osongina qabul qiladi. 1- sinf matematika kitobida bola turli xil tasvirdagi to'plamni ko'radi: turli xil hayvonlar to'plami, koptoklar, kitoblar va boshqa ob'ektlar to'plami. U bularni sanaydi va taqqoslaydi: Bir to'plamda ob'ektlar soni ko'p, ikkinchisida kam va bolada to'plam tushunchasi xaqida aniq tasavvur hosil bo'ladi ( to'plam termini ishlatilmasa ham).
Matematikada ob'ektlar to'plami (sonlar, nuqtalar, funktsiyalar va hokazo) haqida gapirilganda bu ob'ektlarning bir butunligi tushuniladi.

To'plam nazariyasining asoschisi nemis matematigi Geogr Kantor (1845­1918) bu fikrni quyidagicha izohlaydi: "to'plam" deganda biz bir-biridan farq qiluvchi qandaydir aniq predmetlar, ya'ni ob'ektlarning ongimizda bir butun shaklda mujassamlashuvini tushunamiz.

Hayotda uchraydigan ba'zi so'zlar to'plam ma'nosida ishlatiladi. Masalan, "yig'ilish" , "poda", "sbor", "kollektsiya" va hokazolar shular jumlasidandir. To'plamni tuzuvchi turli tabiat ob'ektlari (odamlar, uylar, kitoblar, geometrik figuralar, sonlar va hokazorlar)ga uning elementlari deyiladi. Masalan, 3 soni natural son to'plamining elementi hisoblanadi, May oyi yildagi oylar to'plamining elementidir. To'plam bilan uning elementi o'rtasidagi munosabatni "tegishli" hamda "tegishli emas" so'zlari orqali ifodalash mumkin. Misol, 3 soni natural sonlar to'plamiga tegishli , -2 soni natural sonlar to'plamiga tegishli emas.
To'plamlar katta lotin alifbosi harflari A,B,C,D...bilan, to'plam elementlari esa kichik lotin harflari a,b,c... bilan belgilanadi. "Tegishli"
so'zi ^£ belgi bilan, "tegishli emas" so'zi esa ^£ belgi bilan almashtiriladi. Agar "a ob'ekt biror A to'plamning elementi" bo'lsa, uni quyidagicha belgilaymiz: a^£A. Bu yozuv quyidagicha o'qiladi: "a element A to'plamga tegishli".
Agar "a element Ato'plamga tegishli emas" bo'lsa, quyidagicha yoziladi.
a^£ A .
Misol, agar A- juft natural sonlar to'plami bo'lsa, quyidagi misollar to'g'ri bo'ladi:
16£A; 328£A; 17 ^£ A ; 11 ^£ A.
Elementlari soniga qarab to'plamlar chekli va cheksiz to'plamlarga bo'linadi. Elementlar soni chekli bo'lsa,- chekli to'plam, elementlari soni cheksiz bo'lsa, cheksiz to'plam deb aytiladi.

1. 
   kursda o'rganiladigan predmetlar to'plami, auditoriyadagi talabalar
   

to'plami, soch tolalari to'plami- chekli to'plam; doira ustidagi nuqtalar to'plami, natural sonlar to'plami - cheksiz to'plamga misol bo'ladi.

To'plam bitta elementdan iborat bo'lishi ham mumkin. Masalan "nur" so'zidagi unli harflar to'plami. Bu to'plam 1 ta elementdan, ya'ni "u" harfidan iborat.
Agar , to'plamning birorta ham elementi bo'lmasa, bunday to'plam bo'sh to'plam deyiladi. Bo'sh to'plam 0 deb belgilanadi.Masalan, oydagi odamlar to'plami, uchburchakdagi diagonallar to'plami, x +1=0 tenglama haqiqiy ildizlari to'plami bo’sh to’plamdir.
To'plamning elementlari to'plamlar ham bo'lishi mumkin. Masalan, maktabdagi sinflar to'plami. Bu to'plam elementlari bo'lgan sinflar o'z navbatida o'quvchilar to'plamidir. Lekin o'quvchilar maktabdagi sinflar to'plamining elementlari bo'lmaydi.
II.To'plamlarning berilish usullari To'plam asosan ikki usulda beriladi:

1. 
   Elementlarni bevosita keltirish yoki sanash yordamida beriladi. Agar a, b,c - A to'plamning turli ob'ektlar belgilari bo'lsa, A to'plam quyidagicha yoziladi: A={a,b,c} va quyidagicha o'qiladi "A to'plam a,b,c elementlardan iborat".
   

Bu usul chekli to'plamlarda qo'llaniladi, lekin bu shart bilan birga elementlar soni to'plamda ko'p bo'lmasligi kerak.

2. 
   Elementlarning xarakteristik xossasiga qarab beriladi.
   

Masalan, A natural sonlar to'plami 6 dan kichik. Bu to'plam ikkinchi usulda berilgan : hamma A to'plam elementlarining xarakteristik xossasi ko'rsatilgan, ya'ni natural son bo'lish va 6 sonidan kichik bo'lishi asosida.
A to'plam elementlarini 1-usulda quyidagicha yozish mumkin:
A={ 1,2,3,4,5 }
To'plam elementining ayrim xarakteristik xossasi ko'rsatilgan bo'lsa

uni quyidagicha ifodalaymiz: qavsda element belgisi yoziladi, keyin vertikal chiziq o'tkaziladi, so'ng to'plam elementlarining xossasi yoziladi. Masalan: 6 dan kichik bo'lgan A natural sonlar to'plami quyidagicha yoziladi: A={x / x ^£ N, x<6} bu erda N- natural sonlar

to'plami. To'plam cheksiz bo'lganda ikkinchi usuldan foydalaniladi, Masalan : markazi 0 nuqtada r radiusli aylanada yotuvchi M nuqtalarning A to'plami quyidagicha yozish mumkin:
A={M / | OM| =r}
TO'PLAMLARNI O'ZARO KESISHMAYDIGAN SINFLARGA AJRATISH
To'plamlarni o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish tushunchasi matematikada, jumladan, boshlang'ich sinf darsliklarida ham o'z ahamiyatiga ega Bu tushunchaga ta'rif berishdan oldin quyidagi misollarni tahlil qilamiz:
N-natural sonlar to'plami
A-juft natural sonlar to'plami B- toq natural sonlar to'plami bo'lsin.
Ma'lumki, natural sonlar toq va juft natural sonlarga bo'linadi.Bundan kelib chiqadiki, A ^ N va B ^ N.
Bu to'plam ostilar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1. 
   A^ 0,B^ 0
   
2. 
   Umumiy elementga ega emas: A ^ B= 0
   
3. 
   
   
   
   В
   
   N
   AUB=N ( chizmaga qarang)
   

To'plamlarni o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish tushunchasiga nafaqat matematikada, balki hayotda ham ko'plab misollar keltirish mumkin. Masalan: Yer yuzi xalqlarini qanday belgilariga ko'ra sinflarga ajratish mumkin? Yer yuzi aholisini biror to'plam sifatida qarasak, ularni quyidagi belgilariga ko'ra sinflarga ajratish mumkin:
-irqlariga ko'ra;
-tillariga ko'ra;
-jinslariga ko'ra va hokazo.
TA'RIF: Berilgan M to'plam o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratilgan deb aytiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa:
1) Hech biror to'plam osti bo'sh bo'lmasa, ya'ni Mi^ 0 bunda i=( 1,... ,k) 2) Istalgan ikkita to'plam osti umumiy elementga ega bo'lmasa, ya'ni Mi ^ Mj =0, i^j
3)Barcha to'plam ostilari birlashganda M to'plamni tashkil etsa, ya'ni M₁ U M₂ U M₃ U ....U M_k = M
Agar berilgan to'plamning har bir elementi bitta va faqat bitta qism to'plamga tushsa, hamma ajratilgan qism to'plamlar birlashmasi butun to'plam bilan mos tushsa, u holda berilan to'plam kesishmaydigan qism to'plamlarga ajratilgan deyiladi.
Agar 1) X₁,X₂ ,...,X_n qism to'plamlar juft-jufti bilan o'zaro kesishmasa; 2) X₁ , X₂ ,...,X_n qism to'plamlarning birlashmasi X to'plam bilan mos tushsa, X to'plam X₁, X₂ ,...,X_n sinflarga ajratilgan hisoblanadi.
Masalan, Uchburchaklarning X to'plamini uchta sinfga ajratish mumkin: O'tkir burchakli, o'tmas burchakli, to'g'ri burchakli
uchburchaklar. Haqiqatdan ham ajratilgan qism to'plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va ularning birlashmasi X to'plamni tashkil etadi.
a) To'plamni unda berilgan 1,2 va 3 ta xossasiga ko'ra sinflarga ajratish mumkin. Buni quyidagi misollarda ko'ramiz:
M- natural sonlar to'plamida "3 ga bo'linish" xossasi berilgan bo'lsin. Bu xossaga ko'ra to'plam ikkita o'zaro kesishmaydigan sinflarga bo'linadi. A₁- 3ga bo'linadigan sonlar to'plami A₂- 3 ga bo'linmaydigan sonlar to'plami.
Bu to'plamlar to'plamni sinflarga bo'lish ta'rifidagi shartlarni qanoatlantiradi, ya'ni

1. 
   Ai^ 0;A₂^ 0
   
2. 
   Ai^ A₂ =0
   
3. 
   A1UA2=N
   

Demak, agar to'plamda elementlarning biror xossasi berilgan bo'lsa, bu xossaga ko'ra to'plam ikkita o'zaro kesishmaydigan sinflarga bo'linadi.
b) To'plam elementlarining ikkita xossasiga ko'ra uni sinflarga bo'lish. Quyidagi misolni qaraymiz.
1) M-uchburchaklar to'plamini " teng yonli bo'lish" va "to'g'ri burchakli bo'lish" xossasiga ko'ra qanday sinflarga ajratish mumkin?
Bu xossalarni qanoatlantiruvchi to'plamlarni Eyler-Venn diagrammasida tasvirlaylik, natijada quyidagi sinflar hosil bo'ladi:

1. 
   teng yonli,to'g'ri burchak bo'lmagan uchburchaklar to'plami;
   
2. 
   to'g'ri burchakli,teng yonli bo'lmagan uchburchaklar to'plami;
   
3. 
   teng yonli va to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami;
   
4. 
   teng yonli ham emas, to'g'ri burchakli ham bo'lmagan uchbur­chaklar to'plami.
   

2-Misol:Natural sonlar to'plami elementlari uchun " 2 ga karrali" va "5 ga karrali"xossalari berilgan.Bu xossalarga ko'ra natural sonlar to'plami qanday sinflarga ajraladi? " 2ga karrali" va "5 ga karrali" xossalariga natural sonlar to'plami quyidagi 4 ta sinfga ajraladi:

1. 
   - 2 ga karrali, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar to'plami.
   
2. 
   - 5ga karrali, 2 ga karrali bo'lmagan sonlar to'plami.
   
3. 
   -5 ga va 2 ga karrali bo'lgan natural sonlar to'plami.
   
4. 
   -5 ga ham 2 ga ham karrali bo'lmagan natural sonlar to'plami.
   

3. 
   -Misol: Uchburchaklar to'plami elementlari orasida quyidagi 2 ta xossa berilgan:" O'tkir burchakli bo'lish", "O'tmas burchakli bo'lish", shu xossalarga ko'ra uchburchaklar to'plami qanday sinflarga bo'linadi?
   

Bu xossalarga ko'ra uchburchaklar to'plami 3 ta

1. 
   o'tkir burchakli uchburchaklar
   
2. 
   o'tmas burchakli uchburchaklar
   

c ) o'tkir va o'tmas burchakli bo'lmagan uchburchaklar to'plamiga ajraladi.

3. 
   -misol:Natural sonlar to'plamida 3 ta xossa:"2ga karrali"; "3 ga karrali";" 5ga karrali" bo'lish xosalari berilgan bo'lsa, to'plam qanday to'plam ostilarga ajraladi?
   

Bu xossalarga ko'ra natural sonlar to'plami 8 ta o'zaro kesishmaydigan to'plam ostilarga ajraladi:
A -to'plam deb 2 ga karrali sonlar to'plamini, B to'plam deb 3 ga karrali sonlar to'plamini , C to'plam deb 5 ga karrali sonlar to'plamini olsak, u holda ular juft-juftlari bilan kesishib quyidagi 8 ta o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajraladi:

1. 
   2 ga ,3 ga,5 ga karrali bo'lgan sonlar.
   
2. 
   2 ga,3 ga karrali bo'lib, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
3. 
   3 ga,5 ga karrali bo'lib, 2 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
4. 
   2 ga, 5 ga karrali bo'lib, 3 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
5. 
   2ga karrali bo'lib, 3 ga, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar
   
6. 
   3 ga karrali bo'lib, 2 ga,5 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
7. 
   5 ga karrali bo'lib, 2 ga ,3 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
8. 
   2 ga,3ga, 5ga karrali bo'lmagan sonlar.
   

To'plamlarni sinflarga ajratish tushunchasi haqida boshlang'ich sinf
o'quvchilariga ham ma'lumot berish mumkin: Masalan, o’zbek
alifbosidagi harflar to'plami unli va undosh sinflarga ajraladi.
Unli va undosh harflar birlashib, alfavitni tashkil qiladi. Boshlang'ich sinf matematika kursida to'plamlarni sinflarga ajratish bo'yicha misollar keltiring.
Dekart ko'paytma, juftliklar,
komponentlar, dekart ko’paytma xossalari.
Ikki to'plamning dekart ko'paytmasi ta'rifini berishdan oldin tartiblangan juftlik tushunchasi bilan tanishib chiqishimiz kerak. Buning uchun 42 sonini olib ko'raylik. Bu son 4 va 2 raqamlari yordamida yoziladi. Bu raqamlar tartiblangan holda oldin 4 raqami , so'ngra 2 soni yoziladi. Agar ularning o'rinlari almashtirilsa , u holda boshqa son 24 soni hosil bo'ladi. Demak, (4,2) bu tartiblangan juftlikdir. Umuman x va y sonlaridan iborat tartiblangan juftlikni (x,y) deb belgilaymiz. 33 sonida 2 ta bir xil raqam qatnashayapti, Bu raqamlar (3,3) tartiblangan juftlikni ifodalaydi. Shu qatordagi tartiblangan juftlikda son takrorlanib kelishi ham mumkin. Tartiblangan juftliklarni faqat sonlardangina emas, balki istalgan to'plam elementlaridan tuzish mumkin. X-to'plam berilgan bo'lsin. x va y- lar shu to'plamning elementlari. (x,y)ga tartiblangan juftlik deb aytiladi. x-ga bu juftlikning birinchi komponenti (koordinatasi) , y - ga bu juftlikning ikkinchi komponenti (koordinatasi) deb aytiladi.
Faqat va faqatgina x₁=x₂ va y₁=y₂ bo'lganda (x₁,y₁) va (x₂,y₂)
tartiblangan juftliklar ustma ust tushuvchi juftliklar deb aytiladi. Shuning uchun x ^ ybo’lganda (x,y) va (y,x) juftliklar turlicha juftliklardir.
Masalan: X={a,b,c} to'plam elementlaridan 9 ta tartiblangan juftliklarni tuzish mumkin: (a,a), (a,b),(a,c), (b,b),(b,a), (b,c), (c,a), (c,b),(c,c). Tartiblangan juftlik tushunchasi yanada tushunarliroq bo'lishi uchun bu juftlik komponentlarini turli to'plamlardan olish etarli. Masalan, x element X to'plamdan ( to'plamning elementi istalgan ob'ekt bo'lishi mumkin) y element Y to'plamdan olinsa, tushunish oson bo'ladi. X={a,b,c,d}, Y={4,5} to'plamlar berilgan bo'lsa, bu to'plamlarning elementlaridan foydalanib juftliklar to'plamini tuzish talab qilinsa- ki, bu
juftliklarning birinchi komponenti X to'plamdan, 2- komponenti Y to'plamdan tashkil topsin:
{ (a,4), (a,5), (b,4), (b,5), (c,4), (c,5), (d,4), (d,5)}.
Bu to'plamga berilgan X va Y to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb aytiladi va XxY kabi belgilanadi. Umuman olganda X va Y to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb , shunday (x,y) juftliklar to'plamiga aytiladi, bu juftliklarning birinchi komponenti X to'plamdan , ikkinchi komponenti Y to'plamdan olingan bo'lsa ya'ni:
XxY={(x,y)/ x ^e X va ye Y}.
Agar X va Y to'plamlar ustma- ust tushsa ya'ni X=Y bo'lsa , u holda XxX to'plam , shunday (x,y) juftliklar to'plamidan iboratki, x^e X, y^e X.Masalan, X={m,n,p} u holda X =XxX={(m,m), (m,n), (m,p), (n,m), (n,n), (n,p), (p,m), (p,n), (p,p)}.
Istalgan X to'plam uchun Xx0=0xX=0 o'rinli.
To'plamlarning dekart ko'paytmasi kommutativlik va assotsiativlik xossalariga ega emas:

1. 
   Agar X ^ Y bo'lsa, u holda XxY ^ YxX
   
2. 
   Agar X,Y,Z^ 0 bo'lsa , u holda (XxY)x Z^Xx(YxZ)
   

Haqiqatdan ham, XxY to'plam o'z ichiga shunday (x,y) juftliklarni olganki, x^e X, y^e Y, lekin YxX to'plam esa (y,x) ko'rinishidagi juftliklarni o'z ichiga olgan bo'lib, y^e Y, x^eX. X^Y da (x,y) va (y,x) tartiblangan juftliklar turlicha juftliklardir.
Shuning uchun X ^ Y da XxY, YxX to'plamlar turlichadir. Ikki chekli to'plam dekart ko'paytmasi elementlarini jadval usulida berish mumkin.
Bu jadvalda vertikal bo'yicha X to'plam elementlari gorizontal bo'yicha Y to'plam elementlari yoziladi. XxY to'plam elementlari esa bu qatorlar kesishmasida yoziladi. To’plamlar cheksiz bo’lgan taqdirda ularning dekart ko’paytmasini to’g’ri burchakli dekart koordinata sistemasida tasvirlash qulaydir.