Mavzu: Teylor formulasining taqribiy hisoblashga tatbiqlari


Teylor formulasining Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadi



Download 3,5 Mb.
bet2/3
Sana28.06.2022
Hajmi3,5 Mb.
#714096
1   2   3
Bog'liq
Teylor formulasining taqribiy hisoblashga tatbiqlari

3. Teylor formulasining Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadi
Teylor formulasi qoldiq hadining boshqa ko‘rinishlariga misol tariqasida Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadni keltirish mumkin. Buning uchun ϕ(t ) = f ( x ) f (t ) f'(t )( x t ) ... f ( n )(t )( x t )n
n!
yordamchi funksiyani tuzib olamiz va [x0;x] segmentda uzluksiz, (x0;x) intervalda esa noldan farqli chekli hosilaga ega bo‘lgan biror ψ(t) funksiyani olib, bu funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llasak,
Rn n , c( x0;x ) (3.11) ko‘rinishdagi qoldiq hadni chiqarish mumkin.
Agar (3.11) formulada ψ(t) funksiya sifatida ψ(t)=x-t funksiya olinsa, natijada Koshi shaklidagi qoldiq hadni hosil qilamiz:
Rn( x ) = f ( n+n1!)( c )(1θ)n( x x0 )n+1, c = x0 +θ( x x0 ), 0 <θ<1

4-§.Ba’zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi

1. ex funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=ex funksiyaning (;+) oraliqda barcha tartibli hosilalari mavjud: f(k)(x)=ex, k=1, 2, ..., n+1.
Bundan x=0 da f(k)(0)=1, k=1, 2, ..., n; f(n+1)(θx)=eθx va f(0)=1 hosil bo‘ladi.
Olingan natijalarni (3.10) formulaga qo‘yib
ех =1+ х + х2 + ...+ хn + хn+1 eθx (4.1)
1! 2! n! ( n +1)!
bu erda 0<θ<1, formulaga ega bo‘lamiz.
23-rasmda f( x)= ex funksiya va P3(x) ko‘phad funksiyaning grafiklari keltirilgan.
Agar x=1 bo‘lsa,
е =1+ 1 + 2 + ...+ 1 + еθ (4.2)
1! 2! n! ( n +1)!
formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula yordamida e sonining irratsionalligini isbot qilish mumkin.


23-rasm
Haqiqatan ham, faraz qilaylik, е = p - ratsional son bo‘lsin. Bunda e>1 q
bo‘lganligi uchun p>q bo‘ladi. (4.2) da е = p desak, q
qp = 2+ 21! + 31! + .....+ n1! + ( n 1 qpθ
+1)!
Bu tenglikning ikkala tomonini n! ga ko‘paytirsak quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

qp n!( 2n!+ 21! n!+ 31! n!+...+1) = n1 1qpθ (4.3)
+ 
Bu erda n sonni r dan katta deb olishimiz mumkin. U holda θ<1, p>q bo‘lganligi uchun
0 < 1 qpθ < n1+1qp np+1 <1 (4.4) n +1
bo‘ladi. Shuningdek, n>p>q bo‘lganligi uchun p n! -butun son, chunki n! da q q
ga teng bo‘lgan ko‘paytuvchi uchraydi.

Ravshanki,

ko‘rinishdagi yig‘indi ham butun son bo‘ladi. Demak, n>p uchun (4.3) tenglikning chap tomoni musbat butun son, o‘ng tomoni esa (4.4) ga ko‘ra birdan kichik musbat son bo‘ladi. Bu kelib chiqqan ziddiyat e sonining ratsional son deb faraz qilishimizning noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi. Shuning uchun e – irratsional son bo‘ladi.
2. Sinus funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=sinx funksiyaning istalgan tartibli hosilasi mavjud va n-tartibli hosila
uchun quyidagi formula o‘rinli edi (I.8-§): f ( n )( x ) = sin( x + nπ ). x=0 da
2 f(0)=0 va
f ( n )( 0 ) = sin nπ = 0, agarк n = 2k,
2 ( 1) , agar n = 2к +1
Shuning uchun (3.10) formulaga ko‘ra
sin x = x x3 + ...+( 1)k x2k+1 + x2k+2 sin(θx +( k +1)π), 0 <θ<1 (4.5)
3! ( 2k +1)! ( 2k + 2 )!
ko‘rinishdagi yoyilmaga ega bo‘lamiz.
24-rasm
24-rasmda f(x)=sinx, P3(x), P5(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.


  1. Kosinus funksiya uchun Makloren formulasi.

Ma’lumki, f(x)=cosx funksiyaning n-tartibli hosilasi uchun f ( n )( x ) = cos( x + nπ ) formulaga egamiz (I.8-§). 2
x=0 da f(0)=1 va f ( n )(0 ) = cos n2π = (0, 1)agark , agarn = 2nk =+21,k
Demak, sosx funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli:

сosx =1 x2 + x4 x6 +...+(1)k x2k + x2k+2 cos(θx + kπ+π ), 0<θ<1 (4.6)
2! 4! 6! 2k! (2k +1)! 2

25-rasm
25-rasmda f(x)=cosx, P2(x), P4(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.


  1. f(x)=(1+x)µ (µR) funksiya uchun Makloren formulasi. Bu funksiya (1;1) intervalda aniqlangan va cheksiz marta differensiallanuvchi. Uni Makloren formulasiga yoyish uchun f(x)=(1+x)µ funksiyadan ketma-ket hosilalar olamiz: f'( x ) =µ(1+ х )µ1, f''( x ) =µ(µ1)(1+ x )µ2 , f'''( x ) = µ(µ1)(µ 2 )(1+ x )µ3,..., f ( n )( x ) =µ(µ1)...(µ n +1)(1+ x )µn . (4.7)

Ravshanki, f(0)=1, f(n)(0)=µ(µ-1)...(µ-n+1). Shuning uchun f(x)=(1+x)µ funksiyaning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi:
(1+ x)µ=1+µx +µ(µ1)x2 +...+µ(µ1)...(µn+1)xn +µ(µ1)...(µn)(1+θx )µn1xn+1 (4.8)
2! n! (n+1)!
0<θ<1.


  1. Download 3,5 Mb.

    Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish