Мавзу: Тармоқланувчи алгоритмлар. Aлгебраик ва транссендент тенгламаларни тақрибий ечиш усуллари. Самарарадорлигини бахолаш. Итерацион цкиллар

Назарий қисм:
Ватарлар усули ва унинг моҳияти:

функциянинг графининг ва нуқталардан ўтувчи ватарни ўқи билан кесишиш нуқтаси нинг қийматини тўғри чизиқ тенгламасидан аниқлаймиз.

Ватарнинг ўқи билан кесишиш нуқтаси да , бўлади.

маълум бўлгач, нинг қийматини ҳисоблаш мумкин. Бошланғич яқинлашишни танлаш ҳолларини кўриб чиқайлик:

1) 2)

3) 4)
6 - расм

1) ва , бўлса
2) <0 ва , бўлса
3) <0 ва , бўлса
4) >0 ва , бўлса
Ватарлар усулининг умумий формуласи:

n=0,1,2,3…

x₀ бошланғич яқинлашишда f(x₀)*f ^”(x₀)<0 шарт бажарилиши керак.


Масалан: x+sin(x)=0.5 тенгламанинг [ 0;1] оралиқдаги битта ҳақиқий илдизини аниқликда топиш талаб этилсин.


Мисолнинг ечиш тартиби.
1. Оралиқнинг четки қийматларида функциянинг қийматларини ҳисоблаймиз:
f(a) = f(0) =0+sin(0)-0.5=-0.5 ; f(b) = f(1) =1+sin(1)-0.5=1.3415.
2. f(a) * f (b)=-0.5*1.3415<0 шартдан бажарилди демак берилган оралиқда
тенгламанинг камида битта илдизи мавжуд бўлади.
2. f(х₀) * f’’(х₀)>0 шартдан нолинчи яқинлашишни аниқлаймиз. f’’(x)=-sin(x);
x₀=1 нуқтада шартни текширамиз.
f(1) = 1+sin(1)-0.5=1.3415>0; f’’(1)=-sin(1)=- 0.841471<0; f(1) * f’’(1)<0
Демак нолинчи яқинлашишни x₀=1 деб оламиз.
3. Биринчи яқинлашишни аниқлаймиз:

4.Тенлама илдизини топиш аниқлигини текширамиз:

илдизлар орасидаги фарқ берилган
аниқликдан катта бўлгани учун кейинги яқинлашишни топамиз.
5.Иккинчи яқинлашишни ҳисоблаймиз:

6.Тенглама илдизини топиш аниқлигини текширамиз:

илдизлар орасидаги фарқ берилган аниқликдан катта бўлгани учун кейинги яқинлашишни топамиз.
7.Учинчи яқинлашишни ҳисоблаймиз:

8.Тенглама илдизини топиш аниқлигини текширамиз:

илдизлар орасидаги фарқ берилган аниқликдан кичик шунинг учун х₂=0.2513 берилган тенгламанинг илдизи деб қабул қиламиз.
Топшириқ. x+cos(x)=0.K5 тенгламанинг [ 0;1] оралиқдаги битта ҳақиқий илдизини аниқликда ватарлар усулидан фойдаланиб топинг.
Бу ерда К – талабанинг журнал бўйича номери. Масалан журналда 7- номерда бўлган талаба топшириқни қуйидаги ҳосил бўлган топшириқ бўйича бажаради. x+cos(x)=0.75 ...