Mavzu: Skalyar va vektor miqdorlar. Tеnzоr. Tеnzоrlar ustida amallar. Tеnzоr invariatlari. Simmetrik va antisimmetrik tenzorlar. Levi-Chivita tenzori. Ikkinchi rang tenzorlar va matritsalar, Shar va deviator

C = k A

ob’yekt ham tenzordir.


2. Tenzorlarni simmetriklash va antisimmetriklash.

Ta’rif 1. tenzor i va j indekslari bo’yicha simmetrik deyiladi, agar

bo’lsa.
Ta’rif 2. tenzor i va j indekslari bo’yicha antisimmetrik deyiladi, agar

bo’lsa.
Yuqorida keltirilgan qo’shish qoidasidan foydalanib ixtiyoriy ikkinchi rang tenzorga doimo simmetrik
(1)
va antisimmetrik
(2)
tenzorlarni mos qo’yish mumkin. Ushbu (1) va (2) amallarga mos ravishda tenzorni simmetriklash va antisimmetriklash deyiladi.
Ko’rinib turibdiki, agar T simmetrik tenzor bo’lsa T₀ = T va T₁ =0, va aksincha agar T antisimmetrik tenzor bo’lsa, T₀ = 0 va T₁ = T bo’ladi. Yuqoridagi (4.1) va (4.2) formulalardan
(3)
ya’ni
T=T₀+T_1.
Demak, (3) formuladan ko’rinadiki tenzorning T ^ij matrisasini simmetrik va antisimmetrik matrisalar yig’indisi kabi tasvirlash mumkin.
Eslatma. Ranglari va tuzilishlaridan qat’iy nazar ixtiyoriy tenzorlarni ularning berilish tartibida ko’paytirish mumkin. Masalan, vektor va tenzorlarni quyidagicha ko’paytirish mumkin

lekin hosil qilingan B va C ob’yektlar uchinchi rang tenzorlari bo’lmaydilar. Shuning uchun bunday ko’paytalarga tenzorlarning noaniq ko’paytmalari deyiladi.

3.