Mavzu. Simpleks algoritmi va uni amalda qo‘llanishi. Reja

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FILIALI
KOMPYUTER INJINIRINGI FAKULTETI
Kompyuter injiniringi - Kompyuter tizimlarini
loyihalash yo’nalishi 1 - kurs magistranti Boyqobilov Sardorning Algoritmlarni loyihalashtirish va tahlil qilish fanidan




5 -Mustaqil ishi


Bajardi: Boyqobiov S.


Qabul qildi: Uzakov Z.
Qarshi – 2022
Mavzu. Simpleks algoritmi va uni amalda qo‘llanishi.
Reja;
1. Simpleks usulining dasturiy ta’minoti.
2. Simpleks algoritmi.


1. Simpleks usulining dasturiy ta’minoti.
Oldingi paragraflarda biz chiziqli dasturlash masalalari, chiziqli dasturlash masalasini echishning simpleks usuli, uning algoritmi bilan tanishgan edik. Endi ana shu simpleks usuli algoritmiga asosan uning dasturiy ta’minotini hosil qilishni ko’rib chiqamiz.
Ma’lumki, simpleks usuli bo’yicha bir nechta jadvallar hosil qilinadi. Ana shu jadvallarda simpleks usuli uchun kerakli ma’lumotlar kiritiladi. Masalan, 3 ta no’malumli bo’lgan holdagi chiziqli dasturlash masalasi quyidagi ko’rinishga ega:
Zmах =c1x1+c2x2+ c3 x3
a11x1 + a12x2 + a13 x3  b1 ,
a21x1 + a22x2 + a23 x3  b2 , (2.3.1)
a31x1 + a32x2 + a33 x3  b3 ,
х1 , 2 ,3  0
Ushbu tengsizliklar sistemasini tenglamalar sistemasiga keltirish uchun qo’shimcha o’zgaruvchilar kiritganda so’ng u quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
a11x1 + a12x2 + a13 x3 + y1 = b1 ,
a21x1 + a22x2 +a23 x3 + y2 = b2 ,
a31x1 + a32x2 + a33 x3 + y3 = b3 . (2.3.2)
Zmах = c1x1+c2x2+ c3 x3 +c4 y1+c5 y2+ c6 y3 =
=c1x1+c2x2+ c3 x3 +0y1+0y2+0y3 .
Endi (2.3.2) da berilganlarni simpleks jadvalga joylashtirsak, u quyidagi ko’rinishga keladi :
Ana shu jadvalni biz DELPHI formasida yaratamiz. Buning uchun Delphining Additional komponentlar palitrasidagi Stringgrid komponentasidan foydalanamiz. Dasturda ishlayotganda o’zgaruvchilar o’rnida aniq sonlar qo’yiladi. Shuning uchun quyidagi misolni qaraymiz.

Zmах =x1+2x2+ 3x3

x1 + 2x2 + 3 x3  14 ,

2x1 + 2x2 +3 x3  21 , (2.3.3)

x1 + x2 + 2 x3  22,

х1 , 2 ,3  0

Endi Delphi ekranida shu tenglamalar sistemasi va 2.3.1-jadvaldan foydalanib jadval hosil qilamiz. Buning uchun Stringgrid komponentasi yordamida jadval tashlab, unda 7 ta ustun, 6 ta satr hosil qilamiz.

Ma’lumki, simpleks usulida bir necha jadvallar hosil qilinadi. Biz hozir 1-chi jadvaldan ishni boshlayapmiz. Endi ko’rinishni ushbu jadvalda hosil qilamiz.
Buning uchun jadval kataklariga kerakli so’zlarni kiritib, sonlarni kiritish uchun quyidagi dastur qismini yozamiz:
BAZIS[1]:='Y1';BAZIS[2]:='Y2';BAZIS[3]:='Y3';XB[1]:='X[1]'; XB[2]:='X[2]';XB[3]:='X[3]'; FOR I:=1 TO 3 D BEGIN
STRINGGRID1.Cells[0,1+I]:=BAZIS[I];STRINGGRID1.Cells[2+I,0]:=XB[I]; END; STRINGGRID1.Cells[6,0]:='B[I]/A[I,J]';
STRINGGRID1.Cells[0,0]:='BAZIS'; STRINGGRID1.Cells[1,0]:='C[J]';
STRINGGRID1.Cells[2,0]:='B[J]';STRINGGRID2.Cells[6,0]:='B[I]/A[I,J]';
STRINGGRID2.Cells[0,0]:='BAZIS'; STRINGGRID2.Cells[1,0]:='C[J]';
STRINGGRID2.Cells[2,0]:='B[J]';X[1]:='1';X[2]:='2';X[3]:='3'; C[1]:='0';C[2]:='0'; C[3]:='0'; B[1]:=14; B[2]:=21; B[3]:=22;
FOR I:=1 TO 3 DO BEGIN
STRINGGRID1.Cells[2+I,1]:=X[I];STRINGGRID1.Cells[1,1+I]:=C[I];
STRINGGRID1.Cells[2,1+I]:=FLOATTOSTR(B[I]); END;
A[0,0]:=B[1];A[1,0]:=1; A[2,0]:=2; A[3,0]:=3;
A[0,1]:=B[2];A[1,1]:=2; A[2,1]:=2; A[3,1]:=5;
A[0,2]:=B[3];A[1,2]:=1; A[2,2]:=1; A[3,2]:=2;A[0,3]:=0;
A[1,3]:=-STRTOFLOAT(X[1]);A[2,3]:=-STRTOFLOAT(X[2]);A[3,3]:=-STRTOFLOAT(X[3]);
FOR I:=0 TO 3 DO FOR J:=0 TO 3 DO
STRINGGRID1.Cells[2+J,2+I]:=FLOATTOSTR(A[J,I]);
Ushbu dastur qismi ishlaganda 2.3.1-chizmadagi chizma quyidagi ko’rinishni oladi:

2.3.2-chizma. Jadval ma’lumotlar bilan to’ldirilgan hol.
Bu yerda biz bir va ikki o’lchovli massivlardan foydalandik. Simpleks usulining algoritmi bo’yicha oxirgi, maqsad satrini qaraymiz. Jadval ana shu satrda manfiy element qolmaguncha qayta hisoblab boriladi. Maqsad satr, ya’ni jadvaldagi oxirgi satrdan absolyut qiymati bo’yicha eng kattasini topishimiz kerak. Bizning misolda bu -3, ya’ni x[3] satri. Bu bilan biz hal qiluvchi satrni topgan bo’lamiz. Buning uchun quyidagi dastur qismini yozamiz:
ShowMessagePos('HAL QILUVCHI USTUNNI TOPISH', 600,500);
P:=0; J_USTUN:=0; FOR I:=1 TO 3 DO
IF P>A[I,3] THEN BEGIN P:=A[I,3];J_USTUN:=I; END;
MEMO1.Lines.Add('HAL QILUVCHI USTUN');
MEMO1.Lines.Add(FLOATTOSTR(P)+' '+INTTOSTR(J_USTUN));
Bu dastur qismi yordamida hal qiluvchi ustun nomeri aniqlanadi. Keyingi ish bu hal qiluvchi satrni topish. Buning uchun tenglamalar sistemasidagi ozod hadlar ustunidagi sonlar hal qiluvchi ustun elementlariga bo’linib chiqilib, B[i]/A[I,j] sarlavhali ustunga yoziladi. Ana shu ishlar uchun yozilgan dastur qismi quyidagicha:
ShowMessagePos('HAL QILUVCHI SATRNI TOPISH', 600,500);
//satr:=inputbox('A','B','HAL QILUVCHI SATRNI TOPISH');
FOR J:=0 TO 2 DO BEGIN
Stringgrid1.Cells[6,2+J]:=FLOATTOSTRF(A[0,J]/A[J_USTUN,J],ffFixed,5,2);
FOR I:=1 TO 2 DO
IF ABS(P)>ABS(BA[I]) THEN BEGIN P:=BA[I];J_SATR:=I; END;
Topilgan qiymatlar jadvalga yoziladi. Bu holdagi jadval ko’rinishi quyidagicha:

2.3.3-chizma. Hal qiluvchi satr va hal qiluvchi elementni aniqlash.
Ushbu chizmadan ko’rinadiki, hal qiluvchi satr 4,20 soni turgan satr va hal qiluvchi element 5, ya’ni hal qiluvchi ustun va hal qiluvchi satr kesishgan katakdagi son. 2. Simpleks algoritmi.

Algoritm bo’yicha keyingi ish hal qiluvchi satrdagi elementlar hal qiluvchi elementga bo’lib chiqiladi, hal qiluvchi ustun elementlar esa 0 bilan to’ldiriladi. Ushbu ishlarni bajarish uchun dastur qismi quyidagicha:

BUFER:=X[J_USTUN];C[J_SATR+1]:=BUFER; BUFER:=XB[J_USTUN];
XB[J_USTUN]:=BAZIS[J_SATR+1]; BAZIS[J_SATR+1]:=BUFER;
FOR I:=1 TO 3 DO BEGIN
STRINGGRID2.Cells[0,1+I]:=BAZIS[I]; STRINGGRID2.Cells[2+I,0]:=XB[I];
STRINGGRID2.Cells[1,1+I]:=C[I];
Bu ishlar endi keying 2-jadvalda bajariladi. Bu yerda hal qiluvchi ustundagi x[3] basis ustunidagi Y2 bilan almashtiriladi. Jadvalning qolgan elementlari Jordan-Gauss almashtirishi bilan topiladi. Jordan-Gauss almashtirish formulasi quyidagi ko’rinishga ega:
Ushbu formulalar bilan qiymatlarni hisoblash uchun quyidagi dastur qismini yozamiz:
FOR R:=0 TO 3 DO BEGIN FOR K:=0 TO 3 DO BEGIN
IF SITA[ITA]<>K THEN BEGIN IF J_SATR<>R THEN BEGIN
B1[R,K]:=(A[R,K]*A[J_SATR,J_USTUN]-A[R,J_USTUN]*A[J_SATR,K])/A[J_SATR,J_USTUN];
END; end; end;
Dastur bajarilib, qiymatlar jadvalga yozilgandan so’ng hosil bo’lgan ko’rinish quyidagicha:

Endi 2.3.4-chizmadagi jadvalning maqsad, ya’ni oxirgi satriga qarasak, bitta manfiy element qolgan. Demak yana jadval almashtirishini bajarishimiz kerak. Buning uchun 2-jadvaldan foydalanib hal qiluvchi ustunni aniqlaymiz. Bu ustun x[2] ustuni ekani ko’rinib turibdi, lekin uni dasturda ham aniqlaymiz. So’ng B[J] ustunidagi elementlarni shu hal qiluvchi ustun elementlariga ketma-ket bo’lib chiqamiz. Bo’lib chiqish natijalari 2.3.4-chizmada ko’rsatilgan. Jadvaldan ko’rinadiki, hal qiluvchi satr bu 1,75 soni turgan satr, buni dastur orqali ham aniqlaymiz. Demak, hal qiluvchi element bu 0,80. Demak,ushbu ustunni 0 bilan to’ldirib, satr elementlarini esa hal qiluvchi elementga bo’lib chiqamiz. Hal qiluvchi ustun sarlavhasi X[2] ni hal qiluvchi satr sarlavhasi Y1 bilan almashtiramiz. Jadvalning qolgan elementlarini Jordan-Gauss chiqarish algoritmi orqali hisoblaymiz. Ushbu barcha o’zgarishlarni endi 3-jadvalga joylashtiramiz. Agar barcha ishlarni bajarsak, 3-jadval quyidagicha bo’ladi:
2.3.5-chizma. 3-jadval elementlari to’ldirilgan hol.

Endi ushbu jadval maqsad satriga qarasak, manfiy elementlar qolmagan. Demak optimal echim topilgan, uning qiymati 14 ga teng. Buni C[J] ustunidagi elementlarni B[J] ustunidagi elementlarga ko’paytirib qo’shib chiqsak ham, shu son chiqishidan ko’rishimiz mumkin:

2*1,75+3*3,50=3,5+10,5=14.
Sunday qilib, optimal echim topildi. Optimal echimni topishda biz 3 ta jadval hosil qildik. Demak, biz Delphi formasiga 3 ta Stringgrid jadvalini tashlar ekanmiz. Undan tashqari sarlavhalarni yozish uchun Label komponentasidan foydalanamiz. Birinchi jadvalda asosan boshlang'ich ma'l’motlar’yoziladi. Ularni tahrirlash imkoniyatini berish uchun StringGrid1 komponentasining Properties xossasi Options bo’limini aktivlashtirib, Goediting satridagi FALSE so’zini TRUE so’zi bilan almashtiramiz.
U shbu ishdan talabalarga “Iqtisodiy-matematik usullar” va “Jarayonlar tadqiqoti” fanlarini o’tishda ko’rgazmali vosita sifatida foydalanish mumkin. Talabalarga tushunarli bo’lishi uchun ana shu 3 ta jadvalni bitta ekranda joylashtiramiz. Bunda 1-jadvalda boshlang’ich ma’lumotlar joylashtirilgan va hal qiluvchi ustun va hal qiluvchi satr topilgan. 2-jadvalda endi hal qiluvchi ustun 0 va 1 lar bilan to’ldirilgan. Bunday Delphi muhiti endi quyidagi ko’rinishlarni oladi:
Tuzilgan dastur grafik interfeysi talabalarga tushunarli bo’lishi uchun bitta ekranda bir necha jadvallar hosil qilindi. Ajratilgan ustun, satr ko’zga tezda tashlanishi uchun ularni ranglash effektidan ham foydalanish mumkin.
2-bob bo’yicha xulosa qilib shuni aytish mumkinki, simpleks usuli algoritmi juda qiziq va dasturlashning umumiy tomonlarini qamrab olgan ekan. Ushbu algorotm bo’yicha dastur tuzib men shunga amin bo’ldim.

Ushbu ishda ana shu ketma-ketlikning asosiy bosqichlari keltirilgan. Ulardan iqtisodiy masalalarni echishda, oily ta’lim muassasalarida ''Matematik modellashtirish '' kurslari mavzularini o’tishda foydalanish mumkin.

Xulosa
Ushbu ishlarni bajarish jarayonida men matematik modellar qurishni, chiziqli dasturlash masalasini simpleks usulda echishning yo’llarini, dasturda ishlatiladigan asosiy strukturalarni yanada yaxshi o’zlashtirib oldim. Olgan bilimlarimni kelajak hayotimda albatta qo’llayman. Bitiruv malakaviy ishini bajarish jarayonida to’plangan materiallardan maktabda, litsey yoki kollejda o’z mehnat faoliyatimda albatta foydalanaman.