Mavzu: Qiziqarli topologiya

Mavzu: Qiziqarli topologiya
Topologiya (lot. topos — joy, oʻrin va ...logiya) — matematikaning istalgan tabiatli obʼyektlar shakli bilan bogʻliq eng umumiy xossalarni oʻrganuvchi sohasi hamda shu sohaning eng muhim tushunchalaridan biri.
Geometriyaning bir necha ming yillik tarixiy rivojlanishi davomida koʻplab tayin chiziqlar va sirtlar xossalari oʻrganib kelingan boʻlsa, 19-asrning soʻnggi choragida, bir tomondan, B. Riman, S. Li kabi matematiklar chiziq va sirt tushunchalarini umumlashtirish natijasida ancha keng geometrik obraz — qurama (koʻpxillik ham deyiladi) tushunchasini kiritdilar; ikkinchi tomondan, funksiyalarning turli sinflarini oʻrganish natijasida fransuz matematiklari A. Lebeg (1875— 1941), E. Borel (18711956) va boshqa ishlarida analisis situs (oʻrinjoy tahlili) deb nomlangan yoʻnalish shakllana boshladi. Xuddi shu davrda italiyalik matematik E. Betti (1823—98) koʻpyoqlar haqidagi Eyler teoremasini umumlashtirib, koʻp oʻlchovli koʻpyoqsimon (hozirgi atamaga koʻra, chiziqli boʻlakli) quramalarning murakkablik darajasini belgilovchi koʻrsatkich — Betti sonlarini kiritdi. Bir oz keyin J. A. Puankare yana ham umumiyroq gomologik va fundamental gruppa tushunchalarini qoʻllash natijasida Topologiya matematikaning keyingi taraqqiyotida muhim rol oʻynashini bashorat qildi. 20-asr boshlarida nemis matematigi F. Xausdorf (1868—1942) topologik fazo tushunchasiga taʼrif berdi. Shundan soʻng T.ning jadal surʼatlar bilan rivojlanish davri boshlandi. 20-asrning oʻrtalariga kelib Topologiya algebra bilan bir qatorda butun matematikaning poydevorini tashkil qilishi, matematika sohalari u yoki bu darajadagi nisbatda olingan algebra bilan Topologiya tushuncha va gʻoyalarining sintezidan iborat boʻlishi eʼtirof etildi.
Agar istalgan tabiatli X toʻplam oʻz holicha qaralsa, uning elementlari orasida hech bir munosabat boʻlmaydi. Agar X toʻplam metrik fazo boʻlsa, u holda nuqtalar orasida masofani oʻlchash va shu bilan bogʻliq tushunchalarni oʻrganish imkoniyati tugʻiladi. Bunga nisbatan gʻoyat keng tushuncha — nuqtaning qismtoʻplamga yaqinligi yoki nuqtaning atrofi tushunchasidir. Mas., matematik analizning asosiy goyasi — funksiyalarning lokal (yaʼni nuqtaning atrofidagi tabiati bilangina belgilanadigan) xossalari va ulardan kelib chiqadigan natijalarni oʻrganishdan iborat. Bunda a nuqtaning (a—e, Qe) koʻrinishdagi intervallar majmuasi asosiy rol oʻynaydi. Agar X toʻplamning har bir nuqtasi uchun quyidagi aksiomalarni kanoatlantiradigan atroflari majmuasi koʻrsatilgan boʻlsa, X topologik fazo boʻladi; 1) har bir nuqta oʻzining ixtiyoriy atrofiga tegishli; 2) agar U nuqtaning atrofi hamda Uch W boʻlsa, u holda W ham shu nuqtaning atrofi. Shunday qilib, topologik fazo — biror yoʻsinda Topologiya bilan taʼminlangan toʻplamdir. Bunda ana shu majmualar tizimi X fazoning Topologiyasi deyiladi. Mas., X toʻplam [a, ] kesmada aniklangan uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan boʻlsa, f(x) funksiyaning atrofi qanday funksiyalardan tuzilishiga qarab xossalari bir-biridan farq qiladigan topologik fazolar hosil boʻladi.
Odatda, bir toʻplam bir necha usulda topologik fazoga aylantirilishi mumkin. Bunda ularning topologiyalari nuqtalar atroflari majmualari boyligiga qarab oʻzaro taqqoslanadi — bir Topologiya ikkinchisiga nisbatan kuchliroq (boyroq), ikkinchisi esa kuchsizroq deb ataladi. Mas. barcha x nuqta uchun bittagina atrof X ning oʻzidan iborat boʻlsa, eng kuchsiz Topologiya aksincha x ni oʻz ichiga oladigan istalgan toʻplam uning atrofi deb eʼlon qilinsa, eng kuchli (diskret) Topologiya hosil boʻladi. Shuningdek, Topologiya atroflar oʻrniga ochiq toʻplamlar, yopiq toʻplamlar, chegara, yopilma, toʻplamning ochiq yadrosi, atroflar bazasi kabi xilma-xil usulda aniqlanishi mumkin — ularning bari oʻzaro teng kuchlidir. Istalgan toʻplamda turli usulda xilma-xil Topologiya kiritish mumkinligi Topologiya matematikaning universal sohasi ekanligidan dalolat beradi.
Topologiyaning eng muhim tushunchalaridan biri — bir topologik fazoning ikkinchi topologik fazoga uzluksizdir. Bunda Gʻning x0 nuqtadagi uzluksizligi shunday taʼriflanadi: J[x0) ning ixtiyoriy V atrofi uchun xd nuqta f(U)cV shartni qanoatlantiruvchi U atrofga ega. Topologiya tatbiqlarida bunga nisbatan teskari yondashuv ham koʻp qoʻllanadi: agar f:X>Y akslantirish berilgan boʻlib, X (yoki Y) topologik fazo boʻlsa, u holda Yda (moye ravishdan X da) Gʻakslantirish uzluksiz boʻladigan eng kuchsiz (moye ravishda eng kuchli) topologiya kiritish mumkin. Bu usulni umumlashtirish yoʻli bilan topologik fazolar va uzluksiz akslantirishlar ustida qism fazo, Dekart koʻpaytmasi, topologik fazolarni yelimlash kabi muhim amallar aniqlanadi.
Shunday qilib Topologiya — topologik fazolar, ularning uzluksiz akslanmalari hamda ular bilan boshqa matematik obʼyektlar orasidagi munosabatlarni oʻrganuvchi fandir. Agar A’va K topologik fazolar oʻrtasida oʻzi ham, teskarisi ham uzluksiz boʻlgan oʻzaro bir qiymatli akslantirish oʻrnatish mumkin boʻlsa, X va Y gomeomorf fazolar deyiladi. Bunday fazolar topologiya nuqtai nazaridan bir-biridan farq qilmaydi — biriga oid xossalar ikkinchisida ham oʻrinli boʻladi. Shuning uchun mana shunday, yaʼni gomeomorf akslantirishda oʻzgarmaydigan xossalar topologik invariantlar deyiladi. Topologik fazoning kompaktligi, oʻlchami, tutash (bogʻlamli) komponentalar soni, bir nuqtaga yigʻishtirilishi, sirtlarning bir yoki ikki tomonliligi, uch oʻlchovli fazodagi chiziqlarning tug’ilgan yoki tug’ilmaganligi topologik invariant namunalaridir. Topologiyada invariantlar vositasida murakkab muammolar hal etiladi.
Topologik fazolar, ularning akslantirishlari va invariantlarining xilmaxilligi tufayli 20-asrning 2 yarmidan topologiya tarmoqlanib rivojlana boshlagan. Umumiy (nazariy abstrakt) Topologiyada topologik fazolar qoʻshimcha aksiomalar bilan oʻrganiladi. Kombinatorik (chizikliboʻlakli) topologiya triangulyatsiyalanadigan fazolarni tekshiradi. Algebraik Topologiyada topologik masalalarni algebra masalasiga keltirishga asoslangan usullar rivojlantiriladi. Differensial topologiyada differensial geometriya va topologiya chegarasidagi masalalar, maxsusliklar nazariyasida silliq akslantirishlarning xususiyatlari, K nazariyada T.ning differensial operatorlarga tatbiqi oʻrganiladi. Topologiya shuningdek, nazariy va kvant mexanikasi, nisbiylik nazariyasi kabi sohalarda muhim tatbiqlarga ega.