Mavzu: Qism fazo. Qism fazolar yig’indisi, kesishmasi va ularning o’lchamlari haqida teoremalar. Bir XIL chekli o’lchamli chiziqli fazolarning izomorfligi. Reja

Teorema: qism fazo bo’ladi.
Isbot. Haqiqatan ham, agar va bo’lsa, u holda , , bo’lib, bundan

bo’ladi.
Endi qism fazolar va ularning kesishmasi va yig’indisini o’lchovlari orasidagi munosabatni beruvchi teorema keltiramiz:
Teorema: fazoning chekli o’lchovli qism fazolarining o’lchovlari yig’indisi ularning kesishmasi va yig’indisi o’lchovlarining yig’indisiga tengdir, ya’ni
. (1)
Isbot. Faraz qilaylik, bo’lib, uning qandaydir bazisi bo’lsin. va bo’lganligi uchun tanlangan bazisni va qism fazolarning bazislarigacha to’ldiramiz:
(2)
qism fazodagi
(3)
qism fazodagi bazislar bo’lsin.
(4)
vektorlarni bazis bo’lishligini ko’rsatamiz. Oldin ularni chiziqli erkli bo’lishligiga tekshiramiz. Faraz qilaylik,
(5)
bo’lsin, bu yerda
.
U holda (5) dan

bo’lganligidan tenglik chap va o’ng tomonida turgan vektorlar qarashli bo’ladi va demak

tenglik o’rinli bo’ladi. Bundan

hosil bo’lib, (3) vektorlarni chiziqli erkligidan ekanligi va bularni (5) ga olib borib qo’yganda

tenglik hosil bo’lib, (2) bazis vektor bo’lganligida hosil bo’ladi. Shunday qilib, (4) vektorlar sistemasi chizili erkli bo’lar ekan. Endi vektorni (4) vektorlar sistemasi orqali chiziqli ifodalanishini ko’rsatamiz. Ta’rifga asosan, , bo’lganligidan vektorni (2) bazis vektorlar orqali vektorni (3) bazis vektorlar orqali chiziqli ifodalash mumkin bo’ladi, ya’ni

va

tengliklar o’rinli bo’lib, ularni qo’shsak,

hosil bo’ladi. Bu tenglikdan ko’rinib turibdiki, vektor (4) vektorlarning chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lar ekan. Shunday qilib, biz (4) vektorlar sistemasini qism fazoning bazisi bo’ladi va demak bo’lib, va tengligidan

tenglik hosil bo’lib, bundan esa

tenglikni hosil qilamiz.
Aytilgan teoremadan masalan quyidagicha xulosaga kelishimiz mumkin o’lchovi 32 teng fazoda ikkita 16 va 18 o’lchovli qism fazolar «sig’maydi», ya’ni ular kamida ikki o’lchovli qism fazosida (tekislikda) kesishadi. Haqiqatan ham, bu fazolarning o’lchovlarini yig’indisi 34 teng bo’lib, yig’indilarining o’lchovi 32 dan osholmaydi.
Ta’rif: Agar kesishma nol vektordan iborat bo’lsa, va qism fazolarning yig’indisiga to’g’ri yig’indi deyiladi va ko’rinishda yoziladi.
Tabiiykim, va qism fazolarning to’g’ri yig’indilari uchun

tenglik o’rinli bo’ladi.