Mavzu: python tilida matematik hisoblashlarni realizatsiya qilish

Chiziqli algebra elementlari. NumPy paketi shuningdek chiziqli algebraning asosiy operatsiyalarini (linalg moduli) amalga oshiradi. Keling, avvalo xarakteristik matritsani hisoblash uchun funksiyalarni eslatib o'tamiz.
Vektor normasini (masalan, Evklid) va kvadrat matritsa normasini (masalan, Frobenius) hisoblash uchun norm() funksiyasidan foydalaniladi. Kvadrat matritsaning shartli raqamini hisoblash uchun cond(), determinant det(), matritsaning izi uchun NumPy paketidan trace() funksiyalaridan foydalaniladi.
import numpy as np
a = np.mat( [[1, 2], [3, 4]])
print('a:\n', a)
print('norm a: ', np.linalg.norm(a))
print('cond a: ', np.linalg.cond(a))
print('det a: ', np.linalg.det(a))
print('trace a: ', np.trace(a))
Natija:
a:
[[1 2]
[3 4]]
norm a: 5.477225575051661
cond a: 14.933034373659268
det a: -2.0000000000000004
trace a: 5

Chiziqli algebra moduli matritsani ko`phadlarga ajratish funksiyalariga ega. Simmetrik musbat aniq A matritsa uchun Choleskiy bo`linishi A = LL* bo'lganda sodir bo'ladi, bu yerda L pastki uchburchak matritsa (cholesky() funksiyasi). Umumiy matritsalar uchun QR-ajralish A = QR bo'lganda qo'llaniladi, bu yerda Q ortogonal matritsa va R yuqori uchburchak matritsa (qr() funksiyasi). Matritsaning singulyar qiymatining bo`linishi svd() funksiyasi tomonidan amalga oshiriladi.

import numpy as np
a = np.mat([[2, 1], [3, 4]])
b = (a + a.T) / 2
print('a:\n', a)
print('a:\n', b)
print('lower-triangular (Cholesky) matrix:\n', np.linalg.cholesky(b))
q,r = np.linalg.qr(a)
print('orthonormal matrix q:\n', q)
print('upper-triangular matrix r:\n', r)
print('q*r:\n', q*r)
Natija:
a:
[[2 1]
[3 4]]
a:
[[2. 2.]
[2. 4.]]
lower-triangular (Cholesky) matrix:
[[1.41421356 0. ]
[1.41421356 1.41421356]]
orthonormal matrix q:
[[-0.5547002 -0.83205029]
[-0.83205029 0.5547002 ]]
upper-triangular matrix r:
[[-3.60555128 -3.88290137]
[ 0. 1.38675049]]
q*r:
[[2. 1.]
[3. 4.]]

Chiziqli algebrada chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishga alohida e'tibor beriladi. Teskari matritsani hisoblash uchun inv() funksiyasidan foydalaniladi. Pseudo-teskari matritsalar pinv() yordamida hisoblanadi. solve() funksiyasi tenglamalar sistemasini yechish uchun mo‘ljallangan.

import numpy as np
a = np.mat([[4, 1], [2, 3]])
print('a:\n', a)
b = np.linalg.inv(a)
print('b = a^(-1):\n', b)
print('a*b:\n', a*b)
c = np.mat( [1, 1]).T
print('c:\n', c)
x = np.linalg.solve(a, c)
print('solution x:\n', x)
print('a*x - с:\n', a*x-c)
Natija:
a:
[[4 1]
[2 3]]
b = a^(-1):
[[ 0.3 -0.1]
[-0.2 0.4]]
a*b:
[[ 1.00000000e+00 0.00000000e+00]
[-1.11022302e-16 1.00000000e+00]]
c:
[[1]
[1]]
solution x:
[[0.2]
[0.2]]
a*x - с:
[[0.]
[0.]]

nxm (n m) o‘lchamdagi A matritsa va o‘ng tomoni b bo‘lgan eng kichik kvadratlar usulida r=b-Ax qoldiq normasini minimallashtiruvchi x vektor (psevdo-yechim) mavjud. NumPy eng kichik kvadratlar usulini amalga oshirish uchun lstsq() funksiyasidan foydalanadi.

import numpy as np
a = np.mat([[1, 2], [4, 3], [5, 6]])
print('a:\n', a)
b = np.mat ([7, 8, 9]). T
print('b:\n', b)
x, resids, rank, s = np.linalg.lstsq(a, b)
print('solution x:\n', x)
print('resids r:\n', resids)
y = np.linalg.pinv(a)*b
print('function pinv -> y:\n', y)
Natija:
a:
[[1 2]
[4 3]
[5 6]]
b:
[[7]
[8]
[9]]
solution x:
[[0.55737705]
[1.37704918]]
resids r:
[[20.49180328]]
function pinv -> y:
[[0.55737705]
[1.37704918]]

Yuqoridagi misoldan ko'rinib turibdiki, biz pinv() funksiyasi yordamida bir xil natijaga erishishimiz mumkin.

Endi chiziqli algebraning spektral masalalarini yechish uchun NumPy paketining imkoniyatlarini qayd etamiz. Xos qiymatni topish uchun umumiy matritsalar uchun eigvals() funksiyasidan, Ermit yoki haqiqiy simmetrik matritsalar uchun eigvalsh() funksiyasidan foydalaniladi. Xos qiymat va xos vektorlar mos ravishda eig() va eigh() funksiyasida hisoblanadi.
import numpy as np
a = np.mat([[1.5, 2.], [3., 4.]])
print('a:\n', a)
b = (a + a.T) / 2
c = (a - a.T) / 2
print('b:\n', b)
print('c:\n', c)
lb = np.linalg.eigvalsh(b)
print('eigenvalues of b:\n', lb)
lc = np.linalg.eigvals(c)
print('eigenvalues of c:\n', lc)
la, v = np.linalg.eig(a)
print('eigenvalues of a:\n', la)
print('eigenvectors of a:\n', v)
Natija:
a:
[[1.5 2. ]
[3. 4. ]]
b:
[[1.5 2.5]
[2.5 4. ]]
c:
[[ 0. -0.5]
[ 0.5 0. ]]
eigenvalues of b:
[-0.04508497 5.54508497]
eigenvalues of c:
[0.+0.5j 0.-0.5j]
eigenvalues of a:
[0. 5.5]
eigenvectors of a:
[[-0.8 -0.4472136 ]
[ 0.6 -0.89442719]]


Simmetrik haqiqiy matritsaning xos qiymatlari (bizning holatlarimizda b matritsasi) haqiqiy, kosasimmetrik matritsaning (c matritsasi) esa faqat xayoliydir.