Mavzu: Passiv tajriba ma’lumotlari asosida empirik modellarni qurish Regressiyaning taxminiy tenglamasi turini aniqlash

Mavzu: Passiv tajriba ma’lumotlari asosida empirik modellarni qurish
Regressiyaning taxminiy tenglamasi turini aniqlash

Umumiy hollarda tajriba ma’lumotlarining chiqish o‘zgaruvchisi y ning kirish o‘zgaruvchisi x ga bog‘liqligi grafigini tahlil qilish va ularning ko‘rinishi bo‘yicha (6.6) funksional bog‘liqlikning aniq shaklini tanlash lozim.

y–x koordinatalar tizimini o‘zgartirish (6.6) funksional bog‘liqlikning optimal turini tanlash imkonini beradi.
Tajriba ma’lumotlari bo‘yicha bitta kirish o‘zgaruvchisi x bo‘lgan hol uchun regressiyaning empirik chizig‘ini qurish (6.1 rasm) va u yordamida (6.6) funksional bog‘liqlikning aniq turini tanlash tavsiya etiladi. Regressiyaning empirik chizig‘ini tasvirlanishi:



6.1 rasm. Regressiyaning empirik chizig‘ini qurish.

Bunda ni o‘zgarish diapazoni (6.1-rasm) ta teng intervallarga bo‘linadi. Berilgan intervalda yotuvchi barcha nuqtalar uning o‘rta oralig‘i ga tegishli (6.1-rasm). Bundan keyin har bir interval uchun xususiy o‘rta oraliq hisoblanadi:

(6.7)

bu yerda, intervaldagi nuqtalar soni.

Natijada tanlanmalar hajmi quyidagi formula bo‘yicha aniq­lanadi:

(6.8)
x bo‘yicha u regressiyaning empirik chizig‘i nuqtalarning to‘g‘ri chiziqlarini ketma-ket tutashtirish yo‘li bilan hosil qilinadigan siniq chiziq ko‘rinishida olinadi.
Regressiya tenglamasi parametrlartini aniqlash masalasi ko’pincha ko’p o’zgaruvchili funksiya minimumini aniqlashga olib kelinadi.
(6.9)

Agar quyidagi tenglama berilgan bo’lsa unda differensiallanuvchi funksiya bor va uni (6.10) bajariladigan qilib tanlash talab etiladi:

(6.10)


Ф(b₀, b₁, b₂, …) minimumning zaruriy sharti quyidagi tenglikni bajarilishi hisoblanadi:
(6.11)

yoki
(6.12)

O’zgartirishdan so’ng quyidagi tenglamalar tizimini hosil qilamiz:

(6.13)

(6.13) tenglamalar tizimi, regressiya tenglamasida qancha noma’lum koeffitsiyentlar bo’lsa, shuncha tenglamalardan tashkil topadi va matematik statistikada normal tenglamalar tizimi deyiladi.

Ixtiyoriy da kattalik bo’ladi va o’z-o’zidan unda hech bo’lmaganda bitta minimum mavjud bo’lishi kerak. Shuning uchun, agar normal tenglamalar tizimi yagona yechimga ega bo’lsa unda ushbu yechim F kattalikning minimumi hisoblanadi. Umumiy ko’rinishda (6.13) tizimni yechib bo’lmaydi. Buning uchun ф funksiyalarning aniq ko’rinishlarini berish kerak.
Funksional bog’liqlikning ko’rinishi tashqi axborot (nuqtalarning tekislikda joylashishi) va aniqlanayotgan komponentning tarkibi bilan analitik bog’liq bo’lgan fizik va kimyoviy qonunlarga (masalan, spektrofotometrlardan darajalash Buger-Lambert-Ber qonuniga tayanib amalga oshiriladi) nisbatan umumiy tasavvurlardan kelib chiqib tanlanadi. Ko’pincha chiziqli bog’liqlikdan foydalaniladi.
Amaliyotda bo’ladigan, ya’ni tenglamalar tizimi aniq yechimga ega bo’lmagan hollar keng tarqalgan (k – funksiya parametrlari soni, n – o’lchashlar soni). Bu, taqribiy yechimlarning cheksiz to’plami mavjudligini bildiradi va silliqlantirish masalasi yuzaga keladi. Ushbu masalani chiziqli regression tahlil misolida yanada batafsilroq ko’rib chiqamiz (ya’ni funksional bog’liqlik y=ax+b chiziqli ko’rinishga ega va ikkita a va b parametrlar bilan aniqlanadi, bu yerda k=2).
Chiziqli bog’liklikning parametrlarini topishning eng keng tarqalgan usullaridan biri – eng kichik kvadratlar usuli (EKKU)
Kirish o‘zgaruvchilari bir nechta bo‘lgan hollar uchun (6.3) funksiya turini tanlashda bu yerda ko‘rib o‘tilmayotgan Brandon usulini qo‘llash mumkin.
Umumiy hollarda regressiya (empirik modellar) tenglamalari ikki tur – statistik tahlili «nochiziqli regressiya» usuli bilan amalga oshiriluvchi parametrlar bo‘yicha nochiziqli va statistik tahlili «chiziqli regressiya» usuli bilan amalga oshiriluvchi parametrlar bo‘yicha chiziqlilarga farqlanadi.
Modellarning parametrlari bo‘yicha chiziqlilarini quyidagi ko‘rinishda keltirish mumkin:
(6.14)

Bu yerda, - kirish o‘zgaruv­chilarining chiziqli yoki nochiziqli funksiyalari.

Chiziqli modellarning parametrlari (koeffitsiyentlari) ni aniq­lash va ularning regression tahlili nochiziqli modellarnikiga qaraganda soddaroq.
Shuning uchun ham nochiziqli modellarni imkoni boricha chiziqlantirishga harakat qilinadi va (6.16) dagi ko‘rinishga olib kelinadi.
Chiziqli regressiya tenglamasining xususiy hollari quyidagi hisoblanadi:
(6.15)

va uning bir o‘zgaruvchili (m=1) bir turi – chiziqli regressiyasi:

(6.16)

va parabolik regressiyasi ( ):

(6.17)

bo‘lgandagi polinominal regressiya;

transsendent (tajriba orqali ifodalab bo‘lmaydigan) regressiya va uning, logarifmik chiziqlanishi bo‘lgan quyidagi ko‘rsatkichli tipga bog‘liq bo‘lgan ko‘rinishdagi turi:


(6.18)
va
(6.19)

logarifmik chiziqlantirilishi:


(6.20)

bo‘lgan kasr - ko‘rsatkichli turi:

(6.21)

kirish o‘zgaruvchilari 1 dan katta bo‘lgan, to‘plamli matritsa: