Mavzu: oddiy differensial tenglamalarga qo`yilgan aralash masalani sonli yechish

Formulalar (3.3), (3.4) va (3.7) ma’noga ega bo`lishligining yetarlilik shartini ko`rsatamiz. Quyidagi shartlar bajarilganda progonka metodining formulalari ma’noga ega bo`ladi:

Formulalar (3.3), (3.4) va (3.7) ma’noga ega bo`lishligining yetarlilik shartini ko`rsatamiz. Quyidagi shartlar bajarilganda progonka metodining formulalari ma’noga ega bo`ladi:

(3.8)

Shartlar (3.8) bajarilganda

barcha i =1,2,...,N lar uchun ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun deb faraz qilib,

bo`lishini ko`rsatamiz;

Chunki va bundan, barcha i=1,2,...,N lar uchun bo`lishi kelib chiqadi. uchun yozilgan ifodaning maxraji absolyut miqdori bo`yicha, uning suratining absolyut miqdoridan katta ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun quyidagi ayirmani qaraymiz

Chunki va bundan, barcha i=1,2,...,N lar uchun bo`lishi kelib chiqadi. uchun yozilgan ifodaning maxraji absolyut miqdori bo`yicha, uning suratining absolyut miqdoridan katta ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun quyidagi ayirmani qaraymiz

Ushbu tengsizlikdan bo`lganligi uchun

bo`ladi, ya’ni

Bundan ko`rinadiki, bo`ladi, agar bo`lsa; barcha bo`ladi, bo`lganda. Formula (3.7) ning maxrajini quyidan baholaymiz:

Bundan ko`rinadiki, bo`ladi, agar bo`lsa; barcha bo`ladi, bo`lganda. Formula (3.7) ning maxrajini quyidan baholaymiz:

chunki, shartlar (3.8) ga asosan yoki

bo`ladi, ya’ni

Shunday qilib, formulalar (3.3), (3.4) va (3.7) ning maxrajlari, shartlar (3.8) bajarilganda noldan farqli bo`ladi.

Ta’kidlash lozimki, agarda biror-bir nuqtada

Ta’kidlash lozimki, agarda biror-bir nuqtada

bo`lsa, u holda bo`ladi, barcha lar uchun, shu jumladan i = N uchun ham: . Bu holda shart ortiqcha bo`lib qoladi, chunki, va da

bo`ladi.

Shunday qilib, shartlar (3.8) bajarilganda masala (3.1) formulalar (3.2)-(3.7) bilan aniqlanadigan yagona yechimga ega.

Agar tenglama (3.1) Gauss metodi bilan yechilsa, bunda O arifmetik amallar sarflanadi, bunda N formula (3.1) dagi tenglamalar soni. Endi progonka metodida kiritilgan almashtirish (3.2) ning samarasi tufayli olingan hisoblash formulalarining samarasini hisoblaymiz: