Mavzu: Nostandart masalalarni yechishni o`rgatishda axborot texnologiyalaridan foydalanishni o`rgatish reja

2. Nostandart masalalarni yechishni o`rgatishda axborot texnologiyalaridan foydalanishni o`rgatish


Tenglama – tenglik belgisi bilanbirlashtirilgan ikkita ifoda; bu ifodalarga noma`lum deb ataluvchi bir yoki bir necha o`zgaruvchilar kiradi. Tenglamani yechish – noma`lumlarning tenglamani to`g`ri tenglikka aylantiradigan barcha qiymatlarini topish yoki bunday qiymatla yo`qligini ko`rsatish demakdir.
Maktab matematika kursida , odatda, noma`lumlari son qiymatlar qabul qiladigantenglamalar qaraladi. Bir noma`lumli tenglamada nom`lumning tenglamani qanotlantiruvchi son qiymati bu tenglamaning ildizi yoki yechimi deyiladi. Bir necha noma`lumli tenglamani qanoatlantiruvchi sonlar termasi bu tenglamaning yechimi deyiladi.
Matematikada noma`lumlari butun sonlar (Diofant tenglamalri), vektorlar (vektorial tenglamalar), funksiyalar (integral, funksional, differinsial tenglamalar)va boshqa tabiatli ob`ektlar bo`lgan tenglamalar ham qaraladi. Tenglama bilan birga uning aniqlanish sohasi (noma`lumning ruxsat etiladigan qiymatlari to`plami ) ni ham ko`rsatishadi; agar ruxsat etiladigan qiymatlar to`plami ko`rsatilgan bo`lmasa, bu to`plam- tenglamaning chap va o`ng tomonlarida turgan ifodalarning tabiiy umumiy aniqlanish sohasi deb faraz qilinadi.
Tenglama- matematikaning eng muhim tushunchalaridan biri. Ko`pgina amaliy va ilmiy masalalarda biror kattalikni bevosita o`lchsh yoki tayyor formula bo`yichahisoblash mumkin bo`lmasa, bu miqdor qanotlantiradigan munosabat (yoki bir necha munosabat) tuzishga erishiladi. Noma`lum kattalikni aniqlash uchun tenglama (yoki tenglamalar sistemasi )ana shunday hosil qilinadi.
Matematikaning fan sifatida vujudaga kelganidan boshlab uzoq vaqtgacha tenglamalar yechish metodlarini rivojlantirish algebraning asosiy tadqiqot predmeti bo`ldi. Tenglamarni bizga odat bo`lib qolgan harfiy yozilishi XIV asrda uzil-kesil shakllandi; noma`lumlarni lotin alifbosinig oxirgi harflari, ma`lum miqdorlar (parametrlar) ni latin alifbosining dastlabki harflari orqali belgilash an`anasini fransuz olimi R. Dekartdan boshlangan.
Tenglamalarni algebraik yechishning odatdagi yo`li (ko`pincha, analitik yechish deyiladi) shundan iboratki, uni almashtirishlar yordamida soddaroq tenglamarga keltirishadi. Agar bir tenglamaning barcha yechimlari ikkinchi tenglamaning ham yechimlari bo`lsa, u holdaikkinchi tenglama birinchisining natijasi deyiladi. Agar ikkata tenglamadan har biri boshqasining natijasi bo`lsa (ya`ni ularning yechimlari to`plami ustma-ust tushsa), bunday tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi. Tenglamaning ikkala tomoniga bir xil almashtirishni qo`llab, biz uning natijasini hosil qilamiz. Agar bu almashtirish teskarilanuvchan bo`lsa,hosil qilingan tenglama berilganiga teng kuchli bo`ladi. (masalan tenglamaning ikala tomonini bir xil songa ko`paytirsak, biz berilgan tenglamaning natijasini olamiz. Agar bu son noldan farqli bo`lsa, u holda bajarilgan almashtirish teskarilanuvchan , binobarin, hosil qilingan tenglama dastlabkisiga teng kuchli bo`ladi).
Bir noma`lumli tenglamani yechish borasida biz eng sodda tenglamalarga kelishga intilamiz, chunki, ular uchun tayyor formulalar bor
. Chiziqli tenglamalar,kvadrat tenglamalar, ko`rinishdagi tenglamalar eng soda tenglamalardir, bunda
-son, - asosiy elementar funksiyalardan biri; - darajali, - ko`rsatkichli,
- logarifmik, , ,
- trigonometrik funksiyalar. tenglamaning umumiy yechiminiyozish funksiyaga teskari bo`lgan funksiyani kiritishni talab qiladi.
Agar bo`lsa, u holda ; agar bo`lsa, u holda ; agar va bo`lsa, u holda
Tenglamalar eng soda ko`rinishga qanday keltiriladi? Tenglamalarning konkret tiplari (algebraik, trigonometrik, irratsional, ko`rsatkichli, logarifmik, va h.k )ni yechish uchun xususiy usullar ishlab chiqilgan. Tenglamalarni yechishning umumiy metodlaridan eng ko`p uchraydigan uchtasiga to`xtalamiz.
Agar tenglamaning chap tomonidan ko`paytuchilarga yoyishga erishilsa, u holda berilgan tenglamalarga ajraladi, ular yechimlari to`plamlarining birlashmasi olingan tenglamaning yechimlar to`plamini beradi.
Endi va tenglamani yechib, berilgan tenglamaning barcha ildizlarini topamiz: 1, 2 va -3. Bu metodni ko`paytuvchilarga ajratish metodi deb atash qabul qilingan.
Ko`pincha, yangi noma`lum sifatida eski noma`lumning biror funksiyasini qabul qilib, tenglamani soddalashtirishga erishiladi. Masalan, tenglamani yangi noma`lum kiritib, kvadrat tenglamaga keltirish mumkin. Hunonchi va tenglamaga kelamiz.
Ba`zan tenglamaning chap va o`ng tomonidagi ifodalarning funksional xossalarini tahlil qilib, yechishga muvaffaq bo`linadi. Masalan, tenglamaningchap tomoni o`suvchi, o`ng tomoni esa o`zgarmas bo`lgani uchun bu tenglama bittadan ortiq ildizga ega emas. Yagona ildiz esa oson payqaladi. tenglamani yechayotib barcha x lar uchun tengsizliklar bajarilishini hisobga olamiz, u holda , ammo , binobarin, berilagan tenglama ildizlarga ega emas.
Shu vaqtgacha biz tenglamaildizini son yoki parametrning ma`lum funksiyalari kombinatsiyasisifatida topishga imkon beradigan usullarni tahlil qildik. Ammo amaliyotda paydo bo`ladigan hamma tenlamalarni ham shunga o`xshash usullar bilan yechib bo`lmaydi. Masalan, beshinchi darajadan boshlab algebraik tenglamalarni yechish uchun umumiy formula mavjud emasligini XIX asr boshida isbotlandi. Shuning uchun ham , matematikada tenglamalarni taqribiy yechishning taqribiyyechishning turli metodlari ishlabb chiqilgan. Uchinchi darajali tenglamalarni Kardano formulasi yordamida, to`rtinchi darajali tenglamalarni Ferrrari usullari yordamida yechish usulllari aniqlandi. Ulardan eng soddasi qo`yidagi teoremaga asoslanadi, agar funksiya kesmaning barcha nuqtalarida uzluksiz bo`lsa va uning chetki uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda tenglama bu kesmada ildizga ega.
Tenglamarni grafik yordamida tadqiq qilish ayniqsa qulaydir; masalan, funksiya grafigi bo`yicha , tenglama da uchta, da ikkita va da bitta ildizga egaligini darrov ko`ramiz.

3.Nostandart masalalarni echish usullari

Rus filologi Dmitriy Nikolaevich Ushakov o'zining izohli lug'atida "metod" tushunchasiga bunday ta'rifni beradi - biror narsani nazariy tadqiq etish yoki amaliy amalga oshirish usuli, usuli, usuli (D. N. Ushakov, 2000). Hozirgi vaqtda biz nostandart deb hisoblagan matematikadan masalalarni echish uchun qanday o'qitish usullari mavjud? Afsuski, ushbu vazifalarning o'ziga xosligini hisobga olib, hech kim universal retsepti bilan chiqmagan. Ba'zi o'qituvchilar naqsh mashqlari bilan shug'ullanadilar. Bu quyidagi tarzda sodir bo'ladi: o'qituvchi echimini ko'rsatadi, so'ngra o'quvchi muammolarni hal qilishda buni ko'p marta takrorlaydi. Bu o'quvchilarning matematikaga bo'lgan qiziqishini yo'q qiladi, eng kami afsus.
Matematikada biron bir nostandart masalani echishning umumiy qoidalari mavjud emas, chunki bunday muammolar ma'lum darajada o'ziga xosdir. Nostandart vazifa aksariyat hollarda "aql-idrokka qarshi kurash" sifatida qabul qilinadi va to'siqlarni engib o'tishda, ijodiy qobiliyatlarni rivojlantirishda o'zini anglash zarurligini tug'diradi.
Nostandart muammolarni hal qilishning bir necha usullarini ko'rib chiqing:
· Algebraik;
· Arifmetik;
Qo'pol kuch ishlatish usuli;
· Mulohaza yuritish usuli;
· Amaliy;
· Taxmin qilish usuli.
Algebraik usul muammoni hal qilish ijodkorlikni rivojlantiradi, umumlashtirish qobiliyatini rivojlantiradi, mavhum fikrlashni shakllantiradi va tenglamalarni tuzishda yozuvning qisqarishi va mulohazalari kabi afzalliklarga ega.
Muammoni algebraik usul bilan hal qilish uchun quyidagilar kerak:
· Asosiy noma'lumni tanlash va miqdorlar o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlash, shuningdek matematik tilda ushbu bog'liqliklarni ikkita algebraik ifoda shaklida ifodalash maqsadida masalani tahlil qilish;
· Ushbu ifodalarni "\u003d" belgisi bilan bog'lash uchun asos toping va tenglama tuzing;
· Olingan tenglamaga echimlarni toping, tenglama echimini tekshirishni tashkil qiling.
Muammoni hal qilishning ushbu barcha bosqichlari mantiqiy ravishda o'zaro bog'liqdir. Masalan, ikkita algebraik ifodani teng belgisi bilan birlashtirish uchun asos qidirishni maxsus bosqich deb ataymiz, ammo avvalgi bosqichda bu iboralar o'zboshimchalik bilan emas, balki ularni "\u003d" belgisi bilan qo'shilish imkoniyatlarini hisobga olgan holda shakllanganligi aniq.
Miqdorlar orasidagi bog'liqlikni aniqlash ham, ushbu bog'liqliklarni matematik tilga tarjima qilish ham kuchli analitik va sintetik fikrlash faoliyatini talab qiladi. Ushbu faoliyatda muvaffaqiyat qozonish, xususan, o'quvchilar ushbu miqdorlar qanday aloqalar bo'lishi mumkinligini biladimi va bu munosabatlarning haqiqiy ma'nosini tushunadimi (masalan, "keyinroq ...", "yoshi kattaroq ... marta" atamalari bilan ifodalangan munosabatlar). " va h.k.). Keyinchalik, siz qanday matematik harakatni yoki harakatning xususiyatini yoki tarkibiy qismlar va harakat natijasi o'rtasidagi bog'liqlikni (bog'liqlikni) muayyan munosabatlarni tavsiflashi mumkinligini tushunishingiz kerak.
Nostandart masalani algebraik usul bilan echishga misol keltiramiz.
Vazifa. Baliqchi baliq tutdi. Undan: "Uning massasi nima?", Deb so'rashganda, u shunday javob berdi: "Quyruqning massasi 1 kg, boshning massasi quyruq va tananing yarmi massasi bilan bir xil. Tananing massasi esa bosh va dumning massasi bilan bir xil ». Baliqning massasi qancha?
X kg tananing massasi bo'lsin; u holda (1 + 1 / 2x) kg - boshning massasi. Tana massasi shartli ravishda bosh va quyruq massalarining yig'indisiga teng bo'lgani uchun biz tenglama tuzamiz va echamiz:
x \u003d 1 + 1 / 2x + 1,
4 kg tana massasi, keyin 1 + 1/2 4 \u003d 3 (kg) boshning massasi va 3 + 4 + 1 \u003d 8 (kg) butun baliqning massasi;
Javob: 8 kg.
Arifmetik usul qarorlar, shuningdek, aqliy qobiliyatlarni rivojlantirishga, matematik sezgi, real hayotiy vaziyatni oldindan ko'ra bilish qobiliyatini shakllantirishga ijobiy ta'sir ko'rsatadigan juda ko'p ruhiy stressni talab qiladi.
Muammo uchun diagramma tuzamiz. Diagrammaning birinchi segmenti orqali birinchi baliqchidagi baliqlar sonini belgilaylik. Ikkinchi segment - bu ikkinchi baliqchidagi baliqlar soni. Zamonaviy inson fan, texnika va iqtisodiyotda muhim rol o'ynaydigan ma'lumotlarni tahlil qilishning asosiy usullari va ehtimollik qonunlari to'g'risida tasavvurga ega bo'lishi kerakligi sababli kombinatika, ehtimollar nazariyasi va matematik statistika elementlari maktab matematikasi kursiga kiritiladi, bular yordamida tushunishga qulay. qo'pol kuch. Matematika kursiga kombinatoriya masalalarini kiritish maktab o'quvchilarining rivojlanishiga ijobiy ta'sir ko'rsatmoqda. “Kombinatorial masalalarni echishda maqsadga muvofiq mashg'ulotlar o'zgaruvchanlik kabi matematik fikrlash sifatini rivojlantirishga yordam beradi. Fikrlashning o'zgaruvchanligi deganda, biz talabaning aqliy faoliyatining bu borada maxsus ko'rsatmalar bo'lmagan taqdirda muammoning turli echimlarini topishga yo'nalishini tushunamiz. "
Kombinatoriya muammolarini turli usullar bilan hal qilish mumkin. An'anaviy ravishda ushbu usullarni "rasmiy" va "norasmiy" ga bo'lish mumkin. Yechimning "rasmiy" usuli bilan siz tanlovning mohiyatini aniqlashingiz, tegishli formulani yoki kombinatorial qoidani tanlashingiz kerak (summa va mahsulot uchun qoidalar mavjud), raqamlarni almashtirish va natijani hisoblash. Natijada mumkin bo'lgan variantlar soni, ammo bu holda variantlarning o'zi shakllanmagan.
Yechimning "norasmiy" usuli bilan har xil variantlarni tuzish jarayoni birinchi o'ringa chiqadi. Va asosiy narsa bu qancha emas, balki qanday variantlarni olish mumkin. Ushbu usullarga quyidagilar kiradi qo'pol kuch ishlatish usuli.Ushbu usul hatto yosh maktab o'quvchilari uchun ham qulaydir va kelajakda kombinatoriya tamoyillari va formulalarini joriy etish uchun asos bo'lib xizmat qiladigan kombinatoriya muammolarini amaliy echishda tajriba to'plashga imkon beradi. Bundan tashqari, hayotda inson nafaqat mumkin bo'lgan variantlar sonini aniqlabgina qolmay, balki ushbu variantlarning barchasini to'g'ridan-to'g'ri tuzishi kerak va sistematik sanash usullarini o'zlashtirgan holda, buni yanada oqilona amalga oshirish mumkin. Sanab o'tishning murakkabligi bo'yicha vazifalar uch guruhga bo'linadi:
1. Mumkin bo'lgan barcha variantlarni to'liq sanab o'tishingiz kerak bo'lgan muammolar.
2. To'liq qidirish usulidan foydalanish maqsadga muvofiq bo'lmagan va ba'zi variantlarni ko'rib chiqmasdan darhol chiqarib tashlash kerak bo'lgan muammolar (ya'ni qisqartirilgan qidiruvni amalga oshirish).
3. Qidiruv operatsiyasi bir necha marta va har xil turdagi narsalarga nisbatan bajariladigan muammolar.

Mana tegishli vazifalar misollari:

Vazifa. "+" Va "-" belgilarini berilgan 9 ... 2 ... 4 raqamlari orasiga qo'yib, barcha mumkin bo'lgan iboralarni tuzing.
Variantlarning to'liq ro'yxati amalga oshiriladi:
a) ifodadagi ikkita belgi bir xil bo'lishi mumkin, keyin quyidagilarni olamiz:
9 + 2 + 4 yoki 9 - 2 - 4;
b) ikkita belgi boshqacha bo'lishi mumkin, keyin biz quyidagilarni olamiz:
9 + 2 - 4 yoki 9 - 2 + 4.
Vazifa. O'qituvchi ketma-ket 4 ta rasm chizganligini aytadi: katta va kichik kvadratlar, katta va kichik doiralar birinchi o'ringa aylana turishi va bir xil shakldagi figuralar yonma-yon turmasligi uchun va o'quvchilarni ushbu raqamlar qanday ketma-ketlikda joylashtirilganligini taxmin qilishga taklif qiladi.
Ushbu raqamlar uchun 24 xil joy mavjud. Va ularning barchasini tuzish, so'ngra ushbu shartga mos keladiganlarni tanlash maqsadga muvofiq emas, shuning uchun qisqartirilgan qidiruv amalga oshiriladi.
Katta doira birinchi navbatda turishi mumkin, keyin kichigi faqat uchinchi o'rinda bo'lishi mumkin, katta va kichik kvadratlar esa ikki yo'l bilan - ikkinchi va to'rtinchi o'rinlarda joylashtirilishi mumkin.
Xuddi shunday mulohaza, agar birinchi navbatda kichik doira bo'lsa va ikkita variant ham tuzilgan bo'lsa, amalga oshiriladi.
Vazifa. Bitta firmaning uchta sherigi qimmatli qog'ozlarni 3 qulf bilan seyfda saqlaydi. Sahobalar qulflarning kalitlarini o'zaro taqsimlashni istaydilar, shunda seyf faqat kamida ikkita sherigining huzurida ochilishi mumkin, lekin bittasi yo'q. Buni qanday qilishim mumkin?
Birinchidan, kalitlarni taqsimlashning barcha mumkin bo'lgan holatlari sanab o'tilgan. Har bir sherigiga bitta kalit yoki ikkita turli xil tugmachalar yoki uchta berilishi mumkin.
Deylik, har bir sherikda uch xil kalit mavjud. Shunda bitta sherik seyfni ocholadi va bu shartga javob bermaydi.
Har bir sherikning bitta kaliti bor deb taxmin qilaylik. Keyin, agar ulardan ikkitasi kelsa, seyfni ocholmaydilar.
Keling, har bir sherigiga ikki xil kalitni beraylik. Birinchisi - 1 va 2 tugmachalari, ikkinchisi - 1 va 3 tugmachalari, uchinchisi - 2 va 3 tugmachalari. Ikkala sherik kelganida biz seyfni ochib beradimi yoki yo'qligini tekshirib ko'ramiz.
Birinchi va ikkinchi sheriklar kelishi mumkin, ular barcha kalitlarga ega (1 va 2, 1 va 3). Birinchi va uchinchi sheriklar kelishi mumkin, ularda barcha kalitlarga ega bo'ladi (1 va 2, 2 va 3). Nihoyat, ikkinchi va uchinchi sheriklar kelishi mumkin, ularda barcha kalitlarga ega bo'ladi (1 va 3, 2 va 3).
Shunday qilib, ushbu muammoga javob topish uchun bir necha marta takrorlash kerak.
Kombinatorial muammolarni tanlashda ushbu muammolarning mavzusi va taqdimot shakliga e'tibor qaratish lozim. Vazifalar sun'iy ko'rinmasligi, balki bolalar uchun tushunarli va qiziqarli bo'lishi va ularda ijobiy his-tuyg'ularni uyg'otishi ma'qul. Vazifalarni tuzish uchun siz hayotdan amaliy materialdan foydalanishingiz mumkin.
Hisoblash usuli bilan echilishi mumkin bo'lgan boshqa muammolar ham mavjud.
Misol tariqasida, muammoni hal qilaylik: “Markiz Karabas 31 yoshda edi va uning botinkadagi yosh baquvvat mushugi ertakdan ma'lum bo'lgan voqealar sodir bo'lganda 3 yoshda edi. O'shandan beri necha yil o'tdi, agar mushuk hozir egasidan uch baravar yosh bo'lsa? " Variantlarni sanash jadvalda keltirilgan.
Fikrlash usuli matematik sofizmlarni echishda foydalanish mumkin.
Sofizmda yo'l qo'yilgan xatolar odatda quyidagicha qaynaydi: "taqiqlangan" harakatlarni bajarish, noto'g'ri chizmalardan foydalanish, so'zlarning noto'g'ri ishlatilishi, noto'g'ri so'zlar, "noqonuniy" umumlashmalar va teoremalarning noto'g'ri qo'llanilishi.
Sofizmni ochib berish - bu dalilning tashqi qiyofasi yaratilganiga asoslanib fikr yuritishda xatolikni anglatadi.
Sofizmlar tahlili, avvalo, mantiqiy fikrlashni rivojlantiradi, to'g'ri fikrlash ko'nikmalarini singdiradi. Sofizmda xatoni aniqlash uni anglashni anglatadi va xatoni anglash uni boshqa matematik mulohazalarda takrorlashiga to'sqinlik qiladi. Matematik fikrlashning tanqidiyligidan tashqari, ushbu turdagi nostandart muammolar fikrlashning moslashuvchanligini ochib beradi. Talaba bu mantiqiy ko'rinadigan yo'lning "changalidan chiqa" oladimi, aynan shu zanjirdagi xatolar va boshqa barcha mulohazalarni noto'g'ri qiladi.
Sofizmlarni tahlil qilish, shuningdek, o'rganilgan materialni ongli ravishda o'zlashtirishga yordam beradi, kuzatuvchanlikni va o'rganilayotgan narsalarga tanqidiy munosabatni rivojlantiradi.
a) bu erda, masalan, teoremani noto'g'ri qo'llash bilan sofizm mavjud.
2 2 \u003d 5 ekanligini isbotlaylik.
Boshlang'ich nisbati sifatida quyidagi aniq tenglikni oling: 4: 4 \u003d 5: 5 (1)
Chap va o'ng tomondagi umumiy omilni hisobga olgan holda quyidagilarga erishamiz:
4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)
Qavs ichidagi sonlar teng, shuning uchun 4 \u003d 5 yoki 2 2 \u003d 5.
Fikrlashda, tenglikdan (1) tenglikka (2) o'tishda, qo'shilishga nisbatan ko'paytmaning taqsimot xususiyati bilan yolg'on o'xshashlik asosida ehtimollik illyuziyasi yaratiladi.
b) "noqonuniy" umumlashtirishlardan foydalangan sofizm.