Mavzu: nogolonom tizimlarning

2. Nogolonom tizimlar muvozanat xolatining turg’unligi
Nogolonom tizimlarga bag’ishlangan ko’p ilmiy ishlarga qaramasdan ularning turg’unligiga ta’lluqli ishlar juda ozdir. Nogolonom tizimlarning kichik tebranishlari va turg’unligi masalalari bilan E.Uitteker, O.Bottema, M.A.Ayzerman va F.R.Gantmaxer, A.N.Obmorshev, N.A.Fu-faev, YU.I.Neymark, V.V.Rumyansev, N.G.CHetaev, I.V.Niko-lenko, A.V.Karapetyan, G.N.Knyazev, A.YA.Krasinskiy, I.S.Emelьyanova va boshqalar shug’ullanganlar. Ammo ularning ishlaridagi turg’unlikni tadbiq etish usullari bir-biri bilan mos kelmas edi. Ma’lumki, muvozanat xolati atrofida potensial energiya umumlashgan koordinatalarning bir jinsli kvadratik formasi bo’ladi deb faraz qilib, Uitteker chiziqli nogolonom bog’lanishlarni integralladi. Buning natijasida Uitteker nogolonom tizimlar muvozanat xolatining turg’unligini tekshirish masalasini bog’lanmagan umumlashgan koordinatalari nogolonom bog’lanishlar soniga kamaytirilgan golonom tizimlar masalasiga aylantiradi [114]. Bottema [109] birinchi bo’lib Uitteker muloxazalarining mantiqqa zidligini payqadi. U aniq misolda nogolonom tizimlar differensial tenglamalarining xarakteristik determinanti umumiy xolda nosimmetrik ekanligini va xarakteristik tenglamasi nogolonom bog’lanishlar sonidan kam bo’lmagan nol ildizlarga ega ekanligini ko’rsatdi. SHu sababli Bottema bu erda turg’unlik nazariyasining kritik xoli mavjud deb aytadi. SHuning uchun xam Bottema nogolonom tizimlar muvozanat xolatining turgunlik masalasi xozircha ochiq qoladi degan xulosaga keldi, chunki ungacha ixtiyoriy sonda nolinchi ildizga ega bo’lgan xarakteristik tenglamali tizimlar uchun turg’unlik shartlari ishlab chiqilmagan edi.
Keyinchalik A.I.Kuxtenko [82], A.N.Obmorshev [76], I.V.Nikolenko [74] ishlarida nogolonom tizimlar toyilgan xarakatining chiziqlashtirilgan differensial tenglamalari va ularga mos xarakteristik determinantlari keltirilgan va bu determinantlar umumiy xolda simmetrik emasligi ko’rsatilgan.
M.A.Ayzerman va F.R.Gantmaxer Bottema tadbiq etgan masalani oxirigacha yechish mumkin ekanligini ko’rsatdilar. Ular bu masalani A.M.Lyapunov va I.G.Malkin to’liq tadbiq etgan turg’unlikning maxsus xoliga kelishini ko’rsatdilar. Ular nogolonom tizimlar uchun ushbu teoremani isbot etdilar [108].