Mavzu: Mulohazalar hisobining aksiomalari. Mulohazalar hisobi uchun aksiomalar sistemasi

Mavzu: Mulohazalar hisobining aksiomalari.
Mulohazalar hisobi uchun aksiomalar sistemasi. Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi XI aksiomadan iborat bo‘lib, ular to‘rt guruhga bo‘linadi
Birinchi guruh aksiomalari:
.
Rost qiymat istalgan qiymatdan kelib chiqadi.
.
Implikatsiyaning chap distributivligi.
Ikkinchi guruh aksiomalari:
.
.
Ikki formulaning konyunksiyasidan ularning har biri kelib chiqadi.
.
Agar ikki formulaning har biri bajarilsa ularning konyunksiyasi ham bajariladi
Uchinchi guruh aksiomalari:
.
.
Ikki formulaning dizyunksiyasi ularning har birida kelib chiqadi.
.
Agar C formula A va B formulalarning har biridan kelib chiqsa u holda u ularning dizyunksiyasidan ham kelb chiqadi.
To’rtinchi guruh aksiomalari:
. Kontrapozitsiya qoidasi
.
.
Misollar yechish davomida ushbu 11 aksiomadan foydalanamiz. Shuning uchun ularni eslab qolish muhim. 1 – guruh aksiomalarini faqat implikatsiya amali qatnashgan aksiomalar, 2 – guruh aksiomalari konyunksiya amali qatnashgan aksiomalar, 3 – guruh aksiomalari dizyunksiya amali qatnashgan aksiomalar, 4 – guruh aksiomalarini esa inkor amali qatnashgan aksiomalar sifatida yodda saqlashimiz mumkin.
Biz bu aksiomalardan mulohazalar hisobi formulalarini isbotlanuvchi ekanligini isbotlashda foydalanamiz.
Isbotlanuvchi formula ta’rifi.

1. 
   Har qanday aksioma isbotlanuvchi formuladir;
   
2. 
   Isbotlanuvchi formuladagi x o’zgaruvchi o’rniga ixtiyoriy B formulani qo’yish natijasida hosil bo’lgan formula isbotlanuvchi formula bo’ladi;
   
3. 
   A va isbotlanuvchi formulalardan xulosa qoidasini qo’llash natijasida olingan B formula isbotlanuvchi bo’ladi;
   
4. 
   Mulohazalar hisobining boshqa hech qanday formulasi isbotlanuvchi formula emas.
   

Yuqorida tilga olingan xulosa qoidasini yodga olaylik.
Xulosa qoidasi. Agar A va mulohazalar hisobining isbotlanuvchi formulalari bo’lsa, u holda B ham isbotlanuvchi formula bo’ladi. Bu sxematik ravishda quyidagicha yoziladi:

1 – misol. bo’lishini isbotlaymiz. E’tibor beradigan bo’lsak misolda faqat implikatsiya amali qatnashmoqda. Demak, birinchi guruh aksiomalarining biridan foydalanashimiz kerak.
dan foydalanamiz. Bu yerda

O’rniga qo’yishni bajarish natijasida
(1)
kelib chiqadi. aksioma va (1) formulaga xulosa qoidasini qo’llab
(2)
(2) formulaga nisbatan o’rniga qo’yishni bajarish natijasida
(3)
Isbotlanuvchi formulaga ega bo’lamiz.
. aksioma va (3) formulaga nisbatan xulosa qoidasini qo’llash natijasida

Isbotlanuvchi formulaga kelamiz. Nihoyat, (4) formuladagi x o’zgaruvchi o’rniga A formulani qo’ysak isbotlanishi kerak bo’lgan formula hosil bo’ladi.
Misol 1. O’rniga qo’yish qoidasini qo’llab, quyidagi formulalarning isbotlanuvchi ekanligini ko’rsating:

1. 
   ( )
   
2. 
   (
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

Misol 2. O’rniga qo’yish va xulosa qoidalarini qo’llab, quyidagi formulalarning isbotlanuvchi ekanligini aniqlang:

1. 
   
   

Yechish: dan foydalanamiz (sababi xulosa qoidasini qo’llaganimizda qismi qoladi).

Isbotlanuvchi formula hosil bo’ladi. aksioma va xulosa qoidasini qo’llaymiz.
(1)

Yana aksioma va xulosa qoidasini qo’llaymiz.
(2)
Isbotlanuvchi formula hosil bo’ladi. ekanidan
(3)
Hosil bo’ladi. Bunda x ni A bilan almashtirish natijasida, isbotlanuvchi formula hosil bo’ladi.

2. 
   (
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   

Keyingi mavzu uchun, keltirib chiqarish qoidasining hosilalari mavzusini o’qib tayyorlaninglar. Adabiyot: H.T.To’rayev, I.Azizov “ Matematik mantiq va diskret matematika 1 – jild” kitobi. 249-bet.