Mavzu: mulohazalar hisobida yechilish, zidsizlik, to’liqlilik va erkinlik muomolari

2.3. NAZARIYANING ZIDSIZLIK VA TO’LIQLILIK MUAMMOLARI

Zidsiz nazariya. Ziddiyatga ega bo ‘lgan nazariya. Zidsizlik muammosi.

Absolyut to’liq nazariya. Tor mа’noda to‘liq nazariya. To'liqlilik muammosi.

Yechilish muammosi. Birinchi tartibli predikatlar. Predikatlar hisobi. Predikatlar hisobining zidsizligi.

ZIDSIZLIK MUAMMOSI.

1- ta’rif. Agar T nazariyada shunday S mulohaza topilib, o’zining inkori S bilan birga teorema bo ‘lsa, u holda T ziddiyatga ega bo‘lgan nazariya deb ataladi. Aks holda T zidsiz nazariya deyiladi.

Agar T nazariyada S mulohaza topilib, u o‘zining inkori S bilan birga teorema bo’lmasa, shunda va faqat shundagina u zidsiz nazariya bo‘ladi.

20. 
    nazariyada keltirib chiqarish qoidasining biri sifatida xulosa qoidasi mavjud bo’lganidan, ziddiyatga ega bo‘lgan nazariyaning istalgan mulohazasi teorema bo’ladi. Haqiqatan ham, T nazariyaning istalgan A mulohazasi uchun S —» (S —> A ) ifoda teorema bo’ladi, chunki bu mulohaza S —> (S —> A ) tavtalogiyadir. Bu yerda S va S ning teorema ekanligini hisobga olgan holda ikki marta xulosa qoidasidan foydalanib, A teoremadir degan xulosaga kelamiz.
    

Aksiomatik nazariyalarda zidsizlik muammosini ko‘p hollarda model tushunchasi orqali yechish mumkin. Haqiqatan ham, agar T nazariya ziddiyatga ega bo‘lsa, u holda uning modeli ham ziddiyatga ega bo’ladi, chunki nazariyaning bir-biriga qarama-qarshi bo‘lgan juft teoremalari model holida bir-biriga qarama-qarshi bo‘lgan mulohazaga aylanadi. Demak, nazariya zidsiz bo’lishi uchun uning ziddiyatdan holi bo’lgan modeli mavjudligini ko‘rsatish kerak. Mulohazalar hisobining zidsizligini xuddi shu sxema orqali isbot qilgan edik.

Agar T nazariya uchun shunday interpretatsiyani topish mumkin bo’lsaki, uning interpretasiyasi chekli to‘plamdan iborat bo‘lsa, u holda bu interpretatsiyada ziddiyat mavjud emasligi masalasini yechish to‘g‘ridan-to‘g‘ri shu chekli to‘plamni ko‘rish bilan hal bo’ladi.

Masalan, bir elementli to‘plam a elementga ega bo’lsin. Agar bu to‘plamda a -a —a amali aniqlangan bo’lsa, u holda u ziddiyatga ega bo’lmagan guruh nazariyasining modeli bo’ladi. Demak, guruh nazariyasi zidsizdir. Ammo, ko‘pincha modelning zidsizligini isbotlash ancha murakkab fikr yuritishni talab qiladi. Bu, ayniqsa, T nazariya faqat cheksiz modellarga ega bo’lgan hollarda ko'proq yuz beradi.

Masalan, agar Evklid geometriyasining tushunchalari Lobachevskiy1 geometriyasining interpretatsiyasi sifatida foydalanilsa, u holda Lobachevskiy geometriyasining zidsizligi masalasini Evklid geometriyasining zidsizligi masalasiga keltirish mumkin.

Shuni ta’kidlash kerakki, Evklid geometriyasining zidsizligi va haqiqiy sonlar nazariyasining zidsizligi hozirgacha isbot qilingan emas.