Mavzu. Matritsa ustida almashtirishlar

 

matritsa

 

  uchun 

1



A

    mavjud    bo‘lsin.    U  holda   

I

AA





1

  yoki   

I

AA

det

)

det(

1





  bo‘ladi.  Bundan 

1

det

det

1







A

A

  yoki 

A

A

det

1

det

1





  kelib 

chiqadi. 

2) 

 

A

 

matritsa

 

  uchun 

1



A

    mavjud    bo‘lsin.    U  holda   

A

A

I

AA

1

1









  

tengliklarga ko‘ra 

1



A

 matritsa  uchun teskari matritsa mavjud va u 

A

 dan iborat, 

ya’ni 

A

A







1

1

)

(

 bo‘ladi.    

3) 

n

n



  o‘lchamli 

A

  va 

B

  matritsalar 

1



A

  va 

1



B

  teskari  matritsalarga  ega 

bo‘lsin.  U holda 

AB

  va 

1

1





A

B

 matritsalar uchun  

,

)

(

)

)(

(

1

1

1

1

1

1

I

B

B

IB

B

B

A

A

B

AB

A

B





















 

I

AA

AIA

A

BB

A

A

B

AB





















1

1

1

1

1

1

)

(

)

)(

(

 

bo‘ladi.  Demak,  

AB

 uchun teskari matritsa mavjud va 

1

1

1

)

(









A

B

AB

 bo‘ladi. 

4) 

A

 

matritsa

 

 uchun 

1



A

  mavjud  bo‘lsin.  U holda 

T

A

  va 

T

A

)

(

1



 matritsalar 

uchun  

,

)

(

)

(

1

1

I

I

A

A

A

A

T

T

T

T











 

I

I

AA

A

A

T

T

T

T











)

(

)

(

1

1

 

bo‘ladi. Demak,   

T

A

 uchun teskari matritsa mavjud va 

T

T

A

A

)

(

)

(

1

1







 bo‘ladi. 

                                                 

5

 Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169 

---

      

 1-izoh.

 

o

3  xossani 

k

 ta 

n

n



 o‘lchamli  va teskari  matritsalarga ega bo‘lgan 

matritsalar uchun quyidagicha umumlashtirish mumkin:

 





.

...

...

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

























A

A

A

A

A

A

A

A

k

k

k

k

 

Bu formula matematik induksiya metodi bilan isbotlanadi 

6

. 

    3.1-misol.















2

1

4

3

A

 

matritsaga teskari matritsani toping va natijani tekshiring.

 

        Yechish. 

Berilgan matritsaning determinantini hisoblaymiz: 

.

2

4

6

2

1

4

3

det









A

 

0

det



A

va 

A

 matritsa uchun teskari matritsa mavjud. 

        Matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz: 

   

,

2

2

)

1

(

1

1

11









A

               

,

1

1

)

1

(

2

1

12











A

 

,

4

4

)

1

(

1

2

21











A

               

.

3

3

)

1

(

2

2

22









A

  

A

 matritsaga biriktirilgan matritsani topamiz: 

.

3

1

4

2

22

12

21

11

































A

A

A

A

adjA

 

       Shunday qilib,  

.

2

3

2

1

2

1

3

1

4

2

2

1

3

1

4

2

det

1

1





























































A

A

 

Tekshirish: 

.

1

0

0

1

2

3

2

1

2

1

2

1

4

3

1

I

AA























































 

        

  3.2-misol.

 





























1

1

2

1

0

2

1

2

1

A

 

matritsaga teskari matritsani toping .   

         Yechish.

  Bu matritsa uchun:  

.

0

3

1

4

0

2

4

0

1

1

2

1

0

2

1

2

1

det

























A

 

                                                 

6

 Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169 

---

Matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz:        

      

,

1

1

1

1

0

11







A

             

,

3

1

1

1

2

21









A

         

,

2

1

0

1

2

31











A

   

        

,

0

1

2

1

2

12











A

        

,

3

1

2

1

1

22







A

           

,

3

1

2

1

1

32









A

 

        

,

2

1

2

0

2

13







A

             

,

3

1

2

2

1

23











A

      

.

4

0

2

2

1

33







A

 

       

A

 matritsaga biriktirilgan matritsani topamiz: 

.

4

3

2

3

3

0

2

3

1

adj

33

23

13

32

22

12

31

21

11













































A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

 

        Demak,  























































3

4

1

3

2

1

1

0

3

2

1

3

1

4

3

2

3

3

0

2

3

1

det

1

1

A

A

.