Mavzu. Matritsa ustida almashtirishlar

Teskari matritsani topishning Gauss-Jordan usuli  

A

  xosmas  matritsaning 

1



A

  teskari  matritsasini  topishning  qulay  usullaridan 

biri  matritsa  satrlari  ustida  elementar  almashtirishlarga  asoslangan 

Gauss-Jordan 

usuli

 hisoblanadi.  

1



A

 matritsani topishning Gauss-Jordan usuli ushbu tartibda amalga oshiriladi 

7

. 

                                                 

7

 

Kenneth L. Kuttler-Elementary Linear Algebra [Lecture notes] (2015). pp. 96-99

 

Gauss-Jordan usulining algoritmi  

   .

1

o

 

A

 va 

I

 matritsalarni yonma-yon yozib,  

)

|

(

I

A

 kengaytirilgan 

matritsa tuziladi; 

  

.

2

o

  Elementar  almashtirishlar  yordamida 

)

|

(

I

A

  matritsa 

)

|

(

B

I

 

ko‘rinishga  keltiriladi.    Bunda 

B

  matritsa   

A

  matritsa  uchun  teskari 

matritsa bo‘ladi. 

---

        

 

3.3-misol.

 















3

1

1

2

A

 

matritsaga teskari marritsani Gauss-Jardon usuli bilan toping 

va natijani tekshiring.

 

       Yechish.

   

2

1

1

)

2

(

1

0

0

1

2

1

1

3

)

|

(

r

r

r

I

A

























~ 

~

1

2

2

)

1

(

1

0

2

1

2

1

3

1

r

r

r



























~

5

:

3

1

2

1

5

0

3

1

2

2

r

r

























~ 

~

5

:

5

3

5

1

2

1

1

0

3

1

2

2

r

r

























~

).

|

(

5

3

5

1

5

1

5

2

1

0

0

1

1





























A

I

 

       Yuqorida  keltirilgan   

k

i

i

r

r

r







  belgilash 

i

-satr  bu  satrga 



  songa 

ko‘paytirilgan 

k

-  satrni  qo‘shish  natijasida  hosil  qilinganini, 



:

i

i

r

r



  belgi  esa 

i

- satr bu satrni 



 songa bo‘lish natijasida hosil qilinganini bildiradi.  

Demak,  

.

3

1

1

2

5

1

5

3

5

1

5

1

5

2

1















































A

 

Tekshirish: 

.

5

0

0

5

5

1

3

1

1

2

5

1

2

1

1

3

1

I

AA



















































 

  

3.4-misol.

 



























4

1

2

0

3

1

2

1

1

A

 

matritsaga teskari marritsani Gauss-Jardon usuli 

bilan toping.

 

       Yechish.

   

---

1

3

3

1

2

2

)

2

(

1

0

0

0

1

0

0

0

1

4

1

2

0

3

1

2

1

1

)

|

(

r

r

r

r

r

r

I

A



































~ 

~

2

:

1

0

2

0

1

1

0

0

1

0

3

0

2

2

0

2

1

1

2

2

r

r



























~

2

3

3

2

1

1

)

3

(

1

0

2

0

2

1

2

1

0

0

1

0

3

0

1

1

0

2

1

1

r

r

r

r

r

r







































~ 

~

)

3

(

:

1

2

3

2

7

0

2

1

2

1

0

2

1

2

3

3

0

0

1

1

0

3

0

1

3

3











































r

r

~

3

2

2

3

1

1

)

1

(

)

3

(

3

1

2

1

6

7

0

2

1

2

1

0

2

1

2

3

1

0

0

1

1

0

3

0

1

r

r

r

r

r

r















































~ 

~

).

|

(

3

1

2

1

6

7

3

1

0

3

2

1

1

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1













































A

I

 

Demak,    

.

3

1

2

1

6

7

3

1

0

3

2

1

1

2

1













































A

 

 

3.2. Matritsani LU yoyish 

Chiziqli algebrada matritsalarning turli yoyilmalari keng qo‘llaniladi. 

Matrisani yoyish

 deb,  uni biror xossaga (masalan, ortogonallik, simmetriklik, 

diagonallik  xossasiga)  ega  bo‘lgan  ikki  va  ikkidan  ortiq  martitsalar  ko‘paytmasi 

shaklida  ifodalashga  aytiladi.  Bunday  yoyishlardan  biri 

matritsani  LU  yoyish

 

hisoblanadi. 

---

Matritsani  LU  yoyishda 

n

m



  o‘lchamli 

A

  matritsa 

LU

A



  shaklda 

ifodalanadi,  bu  yerda   



L

diagonal  elementlari  birlardan  iborat  bo‘lgan 

m

m



 

o‘lchamli  quyi  uchburchak  (Lower-triangular)  matritsa; 



U

n

m



  o‘lchamli 

yuqori uchburchak (

n

m



 da trapetsiya) (Upper-triangular) matritsa 

8

.  

Masalan, 

.

0

0

0

0

0

*

0

0

0

*

*

*

0

*

*

*

*

1

*

*

*

0

1

*

*

0

0

1

*

0

0

0

1



























































A

 

       Matritsaning    LU  yoyilmasi  yana 

matritsaning  LU  faktorizasiyasi

  deb       

ataladi.  Matritsaning  LU  yoyilmasidan  chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasini 

yechishda va teskari matritsani topishda foydalaniladi. 

n

m



  o‘lchamli 

A

  matritsa 

LU

A



  shaklga  keltirish  (LU  yoyish)  umuman 

olganda 

A

  matritsaning  satrlariga    noldan  farqli  songa  ko‘paytirilgan  boshqa  

satrni  qo‘shish orqali quyidagi tartibda amalga oshiriladi.  

 3.5-misol.

 











































1

3

7

0

6

8

1

4

5

2

1

8

3

5

4

2

5

1

4

2

A

 

matritsani LU yoying. 

       Yechish.

  Matritsa satrlarida ketma-ket elementar almashtirishlar bajaramiz: 

 

 

 

 

 

                                                 

8

 Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169 

A matritsani LU yoyish algoritmi  

  

.

1

o

 

A

 matritsa satrlarida ketma-ket elementar almashtirishlar bajariladi 

va  U shaklga keltiriladi; 

  

.

2

o

  Satrlarda bajarilgan  elementar  almashtirishlar ketma-ketligi asosida 

L

  yozuv  hosil  qilinadi  va  bu  yozuvda  barcha  diagonal  elementlar 

ustunlarni bo‘lish orqali birlarga aylantiriladi. 

~ 

~ 

~ 

~ 







































5

12

4

12

0

10

4

3

9

0

3

2

1

3

0

2

5

1

4

2

 













































1

3

7

0

6

8

1

4

5

2

1

8

3

5

4

2

5

1

4

2

A

 

.

5

0

0

0

0

1

2

0

0

0

3

2

1

3

0

2

5

1

4

2

U

































 

































5

4

0

0

0

10

2

0

0

0

3

2

1

3

0

2

5

1

4

2

 

 

---

 

A

  matritsa  4   ta  satrdan  tashkil  topgani  sababli 

L

  matritsa 

4

4



  o‘lchamli 

bo‘ladi. Birinchi qadamda belgilangan yozuvlar 

L

 matritsa yozuvining ustunlarini 

tashkil qiladi. Bu yozuvda barcha diagonal elementlarni birlarga aylantiramiz: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      Demak,      

.

5

0

0

0

0

1

2

0

0

0

3

2

1

3

0

2

5

1

4

2

1

2

4

3

0

1

3

1

0

0

1

2

0

0

0

1

1

3

7

0

6

8

1

4

5

2

1

8

3

5

4

2

5

1

4

2









































































































 

n

- tartibli kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin.  Bunda 

A

 matritsani 

LU

 yoyish 

turli  algoritmlar  bilan  amalga  oshirilishi  mumkin

9

.  Shunday  algoritmlardan  biri 

bilan tanishamiz. 

A

 matritsa xosmas  bo‘lsin. U holda ta’rifga ko‘ra  



















L

n

n

n

l

l

l

l

l

l

































1

...

...

...

...

...

...

0

...

1

0

...

0

1

0

...

0

0

1

3

2

1

32

31

21













































A

nn

n

n

n

n

n

n

U

nn

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u



































































...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

0

0

0

...

...

...

...

...

...

0

0

...

0

...

3

2

1

3

33

32

31

2

23

22

21

1

13

12

11

3

33

2

23

22

1

13

12

11

. 

Bundan 

                                                 

9

 

Kenneth L. Kuttler-Elementary Linear Algebra [Lecture notes] (2015). pp. 96-99

 































5

4

12

6

2

9

2

3

4

2

 

5

:

2

:

3

:

2

:

 









 































1

2

4

3

1

3

1

1

2

1

. 

.

1

2

4

3

0

1

3

1

0

0

1

2

0

0

0

1

































L

 

Bundan 

---













n

k

j

i

k

kj

ik

kj

ik

ij

u

l

u

l

a

1

)

,

min(

1

/

. 

 

Bu yig‘indidagi oxirgi qo‘shiluvchilarni ajratib, topamiz: 











1

1

,

i

k

kj

ik

ij

ij

u

l

a

u

 agar  

j

i



 bo‘lsa;                         (1.3.2) 























1

1

1

j

k

kj

ik

ij

jj

ij

u

l

a

u

l

, agar  

j

i



 bo‘lsa.                     (1.3.3) 

Shunday qilib,  

L

 va 

U

 matritsalarning  noma’lum elementlari 

ij

a

 va topilgan  

kj

ik

u

l

,

lar orqali ketma-ket ifodalanadi. 

2-izoh.

 

(1.3.2)  va  (1.3.3)  formulalar  shunday  tartiblanganki,  bunda  avval 

barcha 

ij

u

  larni  va  keyin  barcha 

ij

l

  larni  hisoblab  bo‘lmaydi,  va  aksincha.  Bu 

formulalar orqali hisoblashlar quyidagi tartibda bajariladi: 

,

1

1

j

j

a

u



        

;

,...,

2

,

1

n

j



 

,

11

1

1

u

a

l

i

i



        

;

,...,

3

,

2

n

i



 

,

1

21

2

2

j

j

j

u

l

a

u





        

;

,...,

3

,

2

n

j



 

,

22

12

1

2

2

u

u

l

a

l

i

i

i





        

;

,...,

4

,

3

n

i



 

va hokazo, ya’ni   

U

 matritsaning satrlari  va  

L

 matritsaning  ustunlari  almashlab  

hisoblanadi. 

3.5-misol.

 























9

7

6

4

9

4

9

2

8

A

 

matritsani LU yoying. 

Yechish.

  Berilgan matritsa xosmas, chunki 

.

0

166

det





A

 

A

LU



 yoyilmani tuzamiz: 

































































9

7

6

4

9

4

9

2

8

0

0

0

1

0

1

0

0

1

33

23

22

13

12

11

32

31

21

u

u

u

u

u

u

l

l

l

. 

---

       

L

 va 

U

 matritsalarning noma’lum elementlarini (1.3.2) va (1.3.3) formulalar 

bilan aniqlaymiz: 

  

,

8

11

11





a

u

    

,

2

12

12





a

u

    

,

9

13

13





a

u

    

,

2

1

8

4

1

21

11

21







a

u

l

 

,

8

2

2

1

9

12

21

22

22













u

l

a

u

      

,

2

1

9

2

1

4

13

21

23

23















u

l

a

u

 

,

4

3

8

6

1

31

11

31







a

u

l

     

,

16

11

2

4

3

7

8

1

)

(

1

12

31

32

22

32

























u

l

a

u

l

 

.

32

83

2

1

16

11

9

4

3

9

23

32

13

31

33

33































u

l

u

l

a

u

 

Demak,

  





















9

7

6

4

9

4

9

2

8

.

32

83

0

0

2

1

8

0

9

2

8

1

16

11

4

3

0

1

2

1

0

0

1





































































