Mavzu: Matritsa ko‘rinishdagi chiziqli tenglamalar sistemasi. Koshi integral for­mu­lasi. Eksponensial matritsa. Matritsali differensial tenglamalar­ni integrallash. Reja

D₁(α⁽¹⁾e^k₁^x)QD₂(α(_)⁽²⁾ e^k₂^x )Q….QD_n(α(_)⁽ⁿ⁾e^k_n^x )≡0 (*)
ayniyat faqat D₁qD₂q……D_nq0, bo‘lgandagina o‘rinli bo‘ladi. Demak, topilgan vektorlar yechimlarning fundamental sistemasini tashkil etadi. Shuning uchun umumiy yechimni yozish mumkin bo‘ladi, ya'ni
yqC₁(α⁽¹⁾e^k₁^x)QC₂(α⁽²⁾ e^k₂^x )Q….QC_n(α⁽ⁿ⁾e^k_n^x )
Izoh: (*) ayniyatni birinchi tenglamasini olamiz. α(_)⁽¹⁾e^k₁^x, α(_)²⁾ e^k₂^x ,…., α(_) ⁽ⁿ⁾e^k_n^x vektor funksiyalar a≤x≤b da chiziqli erkli , ya'ni
D₁(α⁽¹⁾e^k₁^x)QD₂(α⁽²⁾e^k₂^x)Q….QD_n(α⁽ⁿ⁾e^k_n^x)≡0 ayniyat faqat D₁qD₂q……D_nq0 bo‘lgandagina bajariladi. Avval D_nq0 ligini ko‘rsataylik. Buning uchun ayniyatning ikkala tomonini α⁽¹⁾e^k₁^x ga bo‘lamiz va hosila olamiz:
D₂(k₂-k₁) α⁽²⁾ e^(k₂^-k₁^)x Q….QD_n ^(k_n^-k₁⁾ α⁽ⁿ⁾e^(k_n^-k₁^)x≡0
Bu ayniyatning har ikkala tomoninng α(_)⁽²⁾ e^(k₂^-k₁^)x ga bo‘lib, yana hosila olamiz. Bu protsessni n-1 marta takrorlab
D_n(k_n-k₁)(k_n-k₂)…….(k_n-k_n-1)α⁽ⁿ⁾e^(k_n^-k₁^)x ≡0
ayniyatni hosil qilamiz. Bundan D_nq0 kelib chiqadi. D_nq0 ni boshlang‘ich ayniyatga qo‘yib, yana yuqoridagi jarayonni takrorlasak, D_n-1q0 ni topamiz. Shu usulni ketma-ket qo‘llab, D_n-2q…..qD₂qD₁q0 larni hosil qilamiz. Qolgan tenglamalarni ham xuddi shunday ko‘rsatiladi.
Misol-1 Ushbu sistemani integrallang.
yechish. Bu holda bo‘lib, xarakteristik tenglama q0yoki (1-k)²-4q0 ko‘rinishga ega. Tenglamani yechib k₁q-1, k₂q3 ildizlarni topamiz. Ildizlar haqiqiy va har xil. Avval k₁q -1 ga mos yechimni ko‘ramiz: y(_)⁽¹⁾q α(_)⁽¹⁾e^-xq e^-x Bundaα₁⁽¹⁾ va α₂⁽²⁾ larni topish uchun
sistemaga ega bo‘lamiz. Uni soddaroq yoki α ₁⁽¹⁾ Q α₂⁽²⁾q0 ko‘rinishida yozish mumkin. Bundan α ⁽¹⁾q1desak, α⁽¹⁾q -1 bo‘ladi. Shunday qilib, . Agar kq3 bo‘lsa, y⁽²⁾qα⁽²⁾ e^3xq e³ va yoki
sistemadan α₁⁽²⁾qα₂q1 deb tanlansa bo‘ladi. Demak, y(_)⁽²⁾q e^3x
Shunday qilib, bo‘rilgan sistemaning umumiy yechimi yqC₁ e^-xQC₂ e^3x ko‘rinishda yoki koordinatalar bo‘yicha ko‘rinishida yozish mumkin.
2). Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va ularning ichida karrali ildizlar ham bor.
Karrali bo‘lmagan oddiy ildizlarga mos yechimlarni avvalgi holdagi kabi topiladi. Endi kqk_s ildiz karrali bo‘lsin deylik. Bu holda mos yechim
y(s)q(α₀^(s)Q α₁^(s)xQ…..Qα _-1^(s)x ^-1)e^k_s^x
ko‘rinishda izlanadi, bu yerda
α_j(s)q , jq0, -1.Karraliga doir misol ko‘raylik.
2-Misol. Ushbu ni integrallang.
yechish. Xarakateristik tenglama tuzamiz:
yoki –(1+k)(3-k)+4=0
Bundan k_1,2=1.Demak, kq1 ildiz haqiqiy va ikki karrali. Mos yechimni
y₁q(a₁+b₁x)e^x
y₂q(a₂+b₂x)e^x
ko‘rinishda izlaymiz. Bundan
Endi bu ifodalarni berilgan sistemaga qo‘ysak
Bu yerdan:
mos koeffitsentlarni taqqoslab topamiz: x⁰: a₁b₁=3a₁-4a₂; a₂+b₂=a₁-a₂; b₁-3b₂=-b₂+3b₂
x: b₁=3b₁-4b₂; b₂=b₁-b₂; b₁=3b₂-b₂=2b₂
Oxirgi 2 ta tenglamada b₁=2b₂ kelib chiqadi. Shuning uchun b₂=s₂ ni ixtiyoriy o‘zgarmas deb olsak, b₁=2s₂, b₂=s₂ bo‘ladi. Birinchi ikki tenglamadan a₁q2a₂Qb₂ kelib chiqadi. Bunda a₂ ixtiyoriy bo‘lib qoladi. Agar a₂=s₁ desak, a₁=2s₁+s₂ ga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, yechimni
y₁=(2C₁+C₂+2C₂x)e^x
y₂=(C₁+C₂x)e^x ko‘rinishda yozish mumkin.
3). Xarakteristik teng ildizlari ichida oddiy va karrali kompleks ildizlar ham bor. Masalan, k=aib ildizlar oddiy ildiz bo‘lsin. Bu holda mos yechimlar
y⁽¹⁾=α⁽¹⁾e^ax cos bx, y⁽²⁾=α⁽²⁾e^axsin bx

ko‘rinishida izlanadi.
Agar kqaib son karrali kompleks ildiz bo‘lsa, yechim
y⁽¹⁾=[α₀⁽¹⁾+α₁⁽¹⁾x+…+α⁽¹⁾ _-1x ^-1]e^ax sin bx, y⁽²⁾=[α₀⁽²⁾+α₁⁽²⁾x+….+α⁽²⁾ _-1x ^-1]e^ax sin bx
ko‘rinishda izlanadi.