Mavzu: Matrisalar va ular ustida amallar. Determinant va uning xossalari. Mavzu rejasi

Mavzu: Matrisalar va ular ustida amallar. Determinant va uning xossalari.
Mavzu rejasi:

• Matritsalarning turlari. Matritsalarni qoʻshish,

matritsani songa koʻpaytirish

• Matritsalarni koʻpaytirish amallari va ularning xossalari. Matritsani transponirlash.
• Kvadrat matritsaning determinanti.
• 2-, 3- tartibli kvadrat matritsalar determinantlarini hisoblash usullari.
• Determinantning xossalari.

ℱ − kommutativ halqa yoki maydon bo’lsin, uning elementlarini skalyarlar deb ataymiz.

• ℱ − kommutativ halqa yoki maydon bo’lsin, uning elementlarini skalyarlar deb ataymiz.
• ℱ ustidagi matritsa bo’lsin (A∈Fn×n). Sn − {1,2,…,n} to’plamdagi barcha o’rniga qo’yishlar to’plami bo’lsin.

A matrisaning har bir satri va ustunidan bittadan olingan elementlar ko’paytmasidan tuzilgan barcha ko’paytmalar to’plamini M(A) deb belgilaymiz. M(A) to’plamning har bir elementi n ta ko’paytuvchidan iborat bo’lib, uni

• A matrisaning har bir satri va ustunidan bittadan olingan elementlar ko’paytmasidan tuzilgan barcha ko’paytmalar to’plamini M(A) deb belgilaymiz. M(A) to’plamning har bir elementi n ta ko’paytuvchidan iborat bo’lib, uni

ko’rinishida yozish mumkin. (1) elementga {1,2,…,n} to’plamdagi

o’rniga qo’yishni mos qo’yamiz. Aksincha, Sn to’plamdagi har bir

τ o’rniga qo’yishga M(A) to’plamning yagona elementi, ya’ni

element mos keladi.

• Shunday qilib, Sn to’plamdagi har bir τ o’rniga qo’yishga M(A) to’plamning (4) elementini mos keltiruvchi akslantirish Sn ni M(A) ga in’ektiv akslantirish bo’ladi.

• TA’RIF. A matrisaning determinanti deb,

yig’indiga aytiladi. Bu yig’indi n! ta qo’shiluvchidan iborat va Sn to’plamdagi har bir τ o’rniga qo’yishga aniq bitta qo’shiluvchi mos keladi.

• A matrisaning determinantini |A| yoki det A yoki

kabi belgilanadi.

Agar n=1 bo’lsa,

• Agar n=1 bo’lsa,
• n=2 bo’lsa,
• Agar n=3 bo’lsa,

TEOREMA. Nol satrli (ustunli) matrisa determinanti nolga teng.

• TEOREMA. Nol satrli (ustunli) matrisa determinanti nolga teng.
• TA’RIF. Agar matrisaning bosh diagonaldan tashqarida joylashgan barcha elementlari nolga teng bo’lsa, bunday kvadrat matrisani diagonal matrisa deyiladi.
• TEOREMA. Diagonal matrisaning determinanti uning diagonalidagi elementlari ko’paytmasiga teng.
• TA’RIF. Agar matrisaning bosh diagonaldan yuqorida (pastda) joylashgan barcha elementlari nolga teng bo’lsa, bunday kvadrat matrisani uchburchakli matrisa deyiladi.
• TEOREMA. Uchburchakli matrisaning determinanti uning diagonalidagi elementlari ko’paytmasiga teng.

Determinanlarning eng ko’p uchraydigan xossalari:

Determinanlarning eng ko’p uchraydigan xossalari:

• 1− XOSSA. A kvadrat matrisa va unga transponirlangan tA matrisaning determinantlari teng.
• 2− XOSSA. Agar matrisaning ikkita satri (ustuni) o’rinlari almashtirilsa, uning determinantining ishorasi o’zgaradi.
• 3− XOSSA. Ikkita satri (ustuni) bir xil bo’lgan matrisaning determinanti nolga teng.

4− XOSSA. Agar A matrisaning biror satri (ustuni) ni λ skalyarga ko’paytirilsa, A matrisaning determinanti λ skalyarga ko’paytiriladi.

• 4− XOSSA. Agar A matrisaning biror satri (ustuni) ni λ skalyarga ko’paytirilsa, A matrisaning determinanti λ skalyarga ko’paytiriladi.
• 5− XOSSA. Agar matrisaning ikkita satri (ustuni) proportsional bo’lsa, uning determinanti nolga teng bo’ladi.
• 6− XOSSA. Agar A kvadrat matrisaning i - satri (ustuni) ning har bir elementi m ta qo’shiluvchidan iborat yig’indidan iborat bo’lsa, A matrisaning determinanti m ta determinant yig’indisiga teng bo’ladi, bunda birinchi determinant matrisasining i - satri (ustuni) da birinchi qo’shiluvchilar, ikkinchi determinant matrisasining i - satri (ustuni) da ikkinchi qo’shiluvchilar va h.k. qo’shiluvchilardan iborat bo’ladi, qolgan satrlar esa, A matrisaniki kabi bo’ladi.

7− XOSSA. Agar matrisa determinantining biror satri (ustuni) ga ixtiyoriy skalyarga ko’paytirilgan boshqa satr (ustun) ni qo’shilsa, u holda bu matrisa determinanti o’zgarmaydi.

• 7− XOSSA. Agar matrisa determinantining biror satri (ustuni) ga ixtiyoriy skalyarga ko’paytirilgan boshqa satr (ustun) ni qo’shilsa, u holda bu matrisa determinanti o’zgarmaydi.
• 8− XOSSA. Agar matrisa determinantining biror satri (ustuni) ga boshqa satr (ustun) larning chiziqli kombinatsiyasini qo’shilsa, u holda bu matrisa determinanti o’zgarmaydi.
• 9− XOSSA. Agar matrisa determinantining biror satri (ustuni) boshqa satr (ustun) larning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo’lsa, bu matrisa determinanti nolga teng bo’ladi.