Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

c
a
b
a
b
x










2
2
2
yoki 
a
ac
b
b
x
2
4
2




formula bilan ifodalanuvchi qoida 
beradi.va so‘ngra bu foidaning geometrik isbotini ko‘rsatadi. Uning geometrik isbotlari sonli 
misollar bilan umumiy xarakterga ega bo‘lgan isbotlardir. 
Xorazmiyning tenglama echish usullaridan namunalar keltiramiz. Masalan, V 
ko‘rinishdagi tenglamalardan shunday misolni ko‘raylik. Kvadrat va yigirma bir dirham o‘n ildizga 
teng; u hozirgi belgilashlarda quyidagicha: x
2
+21=10x (3.1) 
N 
L 
K
F 

---

81 
Xorazmiy qoidasi bo‘yicha bu tenglamani echish usulini hozirgi belgilashlarda ham 
bajarsak, (misolda a=1, B=10, C=21); Echish: Hozirgi belgilashlarda: 
1)
Ildiz sanog‘ini yarimlat, bu 5 bo‘ladi; 
5
2
10
2


b
2)
Yarimlangan ildiz sanog‘ini o‘z-o‘ziga ko‘paytir – bu 25 bo‘ladi; 
25
5
5
2
2
2
2











b
b
b
; 
3)
Yarimlangan ildiz sanog‘ining kvadratidan yigirma birni ayir, bunda 4 qoladi;
4
21
2
10
2
5
2
















c
b
4)
To‘rtni kvadrat ildizdan chiqarsang 2 bo‘ladi; 
2
4
21
2
10
2
2

















c
b
5)
Yarimlangan 
ildiz 
sanog‘idan 
2 
ni 
ayirsang 
3 
bo‘ladi; 
3
2
5
2
10
2
10
2
2
2
2




















c
c
b
b
6)
Agar xohlasang yarim ildiz sanog‘iga 2 ni qo‘shsang 7 bo‘ladi; 
7
2
5
21
2
10
2
10
2
2
2
2




















c
b
b
Oxirida 
har 
ikkalasi 
izlangan 
ildiz 
bo‘ladi, 
ya‘ni 
2
5
21
2
10
2
10
2
2
2
2
2
1




















c
b
b
x
, x
1
=3, x
2
=7 
Agar 
2
2






b
>c bo‘lganda V ko‘rinishdagi kvadrat tenglamalarning hamma vaqt ikkita 
musbat ildizi birligini e‘tiborga olib Xorazmiy – bu ko‘rinishdagi tenglamalarning ildizlarini topish 
uchun yarim ildiz sanog‘iga ildizdan chiqqan sonni qo‘shish va ayirish amalini ishlatish zarur, 
deydi. Agar 
2
2






b
mumkin emas‖ va agar 
2
2






b
=c bo‘lsa tenglamaning ildizi, ildiz sanog‘ining yarmiga teng deydi. 
IV va VI tur tenglamalarining har birining birgina musbat ildizi borligini nazarda tutib, bu 
ko‘rinishdagi tenglamalarda faqat birgina ildiz bor, deb uqtiradi. 
Xorazmiy yuqorida ko‘rsatilgan (3.1) tenglamani echish qoidasining to‘g‘ri ekanligini 
geometrik metod bilan VI bobda isbot qiladi. Uning isbotini hozirgi simvollar bilan ko‘rsatilsa 
quyidagicha bo‘ladi. Uzunligi ildiz sanog‘i 10 ga teng ND kesmaga tomoni noma‘lum X bo‘lgan 
kvadrat AD ni yasaydi. (9-shakl) 
b x

---

82 
9-shakl. 
5 
Kesmaning 
qolgan 
qismini 
bir 
tomoni AB ga teng to‘g‘ri to‘rtburchak EB ga to‘ldiradi; ED to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi S
ED
=10x 
va S
AD
= x
2
(3.2) bo‘ladi. (3.1) tenglama va (2) tenglikni e‘tiborga olganda, to‘g‘ri to‘rtburchak EB 
ning yuzi S
EB
= 21 bo‘lishi kerak. 
Berilgan kesma ND o‘rtasidan FK perpendikulyar chiqarib, uning davomiga tomoni (5-x) 
bo‘lgan kvadrat LH yasaladi. Qolgan qismiga MQ to‘g‘ri to‘rtburchakni joylashtirish natijasida 
tomoni 5 va yuzi S
MF
= 25 (3.3) ga teng bo‘lgan MF katta kvadrat hosil bo‘ladi. Shakldagi MQ, QF 
va HB to‘g‘ri to‘rtburchakning o‘lchovlari x va 5-x ga teng, shuning uchun ular bir-biriga tengdir, 
ya‘ni S
MQ
+S
QF
=S
HB
=x(S-x); demak S=S
M=21. (3.4). kichkina kvadrat KH ning yuzini 
shunday almashtirish mumkin; S
MF
-
SM=S
(3.5) 
(3.5), (3.3) va (3.4) tenglamalardan: 25-21=(5-x)
2
yoki (5-x)
2
=4 (3.6) 
Kichik kvadrat LH ning bir tomoni 5-x=2 bundan x=3 bo‘ladi. Demak, noma‘lum 
kvadratning tomoni AD=3; bu (3.1) tenglmaning bitta echimi bo‘ladi. 
Berilgan (3.1) tenglamaning ikkinchi ildizi to‘g‘ri ekanligini isbotlashda shakl bir oz 
o‘zgartirib chiziladi. Berilgan DN=10 kesmaga tomoni DB=x bo‘lgan CB kvadrat yasaladi. 
Kesmaning qolgan qismi BN ga ikkinchi tomoni EN=x bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak AN chiziladi 
(2-shakl). Bu holda S
CN
=10x, S
CB
=x
2
va S
CN
=S
CB
+S
AN
yoki 10x=x
2
+S
AN
(3.7) 
(3.1) va (3.7) dan S
AN
= 21 (3.8) DN kesmaning o‘rtasidan tomonlari FB=FH=x-5 ga teng 
bo‘lgan HB kvadrat chiziladi, kvadratning HQ tomoniga ikkinchi tomoni HK=BN=ZM=10-x ga 
teng bo‘lgan KQ to‘g‘ri to‘rtburchak chizilganda, tomoni 5 va yuzi S
KN
=25 (3.9) ga teng bo‘lgan 
KN kvadrat hosil bo‘ladi. Yasalgan KQ, QN va AM to‘g‘ri to‘rtburchaklarning bir-biriga 
tengligidan S
AN
=S
HKMNBQ
=21 va kichik kvadratning yuzi: S
HB
=(x-5)
2
(3.10) shakldan S
KN
-
S
HKMNBQ
=S
HB
(3.9) va (3.10) dan: 25-21=(x-5)
2
(3.11) yoki 4=(x-5)
2
; CB kvadratning tomoni x-
5=2; bundan x=7. Bu (3.1) tenglamaning ikkinchi ildizi. Shunday qilib, Xorazmiy ―Geometrik 
algebra‖ metodidan foydalanib (3.1) tenglamani echish qoidasini to‘g‘ri ekanligini isbot qiladi. 
Xaqiqatdan (3.6)va (3.11) tengliklarning shakli quyidagicha ketma-ket aynan almashtirish 
natijasida o‘zgartirsak, yuqorida ko‘rsatilgan formula hosil bo‘ladi:
(3.6) dan: 
(3.11) dan:
25-21=(5-x)
2
25-21=(x=5)
2
21
25
5


