Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

 
Ikki kush va balik xakidagi kadimiy masala 
Ikki terak daraxtning balandliklari ma`lum bulib, kengligi AV bulgan arikning ikki kirgogida usgan. 
Suvning yuzida balik kurinadi. Bu balikka xar ikki terak uchida turgan ikki kush uchib boradi va bir 
vaktning uzida balikka yopishadilar. Balik kuringan joydan arikning kirgoklarigacha bulgan 
masofalar va xar ikki kushning uchgan masofalari aniklansin. 
Faraz kilaylik, ma`lum uzunlikdagi teraklar AN va VK, ular arik yuziga perpendikulyar bulsin. 
Balik kuringan joy E nukta bulsin. NE, KS va AE, VE masofalarni topish kerak. NE va Ke 
masofalarni xar ikki kush bir xil vaktda, bir xil tezlik bilan uchib utgani uchun, bu masofalar teng, 
ya`ni NEqKE buladi.
ВКЕ

tugri burchakli bulgani uchun KE
2
qVK
2
QVE
2
va 
АНЕ

tugri burchakli bulgani uchun 
Ne
2
-AN
2
QAE
2
. Demak, 
VK
2
QVE
2
qAN
2
QAE
2
. 
Endi ADqBK, BDqAH va Av tomonlarga ega bulgan ABD uchburchakni yasaymiz. DEni utkazib, 
uning AV tomonlarga perpendikulyar bulishini kursatamiz. Teskarisini faraz kilamiz, AV ga DF
perpendikulyar bulsin. U vaktda AD
2
-BD
2
qAF
2 
–BF
2
BK
2
-AH
2
qAF
2
-BF
2
buladi. YA`ni D nuktadan 
AV ga ikkita perpendikulyar utkazilgan buladi. Bu esa mumkin emas. Demak, DE AB 
perpendikulyar buladi. 
ADB

ga tashki aylanna chizamiz. ADqDBC yoylarni ajratamiz u vaktda 
ikkinchi teoremaga asosan AD
2
qBD
2
QAbxBCG` 
Rasmdan 
ADqBK, 
BDqAH 
bulgani 
uchun 
BC
AB
BD
AD
2
2

yoki 
BC
AB
AH
BK


2
2
va
BC
AB
BE
AE
BE
AE
AB
BE
AE
)
)(
(
2
2




va AE+BE=AB bulganidan, AE-BE=BC buladi. Bu 
keyingi ikki tenglikdan 
).
(
2
1
),
(
2
1
BC
AB
BE
BC
AB
AE




Bunda AB,BCqDC-DBqAD-DB 
ma`lum, AE va VE topiladi. Demak, NE
2
qAN
2
QFE
2
va KEqNE ekani xam topiladi. 
Beruniy geometriyaga doir bu asarida, yukorida bayon etilganlardan tashkari trigonometriyaga doir 
kup formulalarni aniklashdan iborat masalalarni echadi. CHunonchi u ikkilangan va yarim 
burchakning sinusini, ikki burchak yigindisi va ayirmalarining sinusini, xamda ikki burchak 
yigindisini yarmining sinusini topish koidalarini keltiradi. Bu koidalar mazkur sinuslarni 
ifodalovchi ayniyatlarga teng kuchlidir.