Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

x
21
25
5



x
21
2
10
2
10
2









x
21
2
10
2
10
2









x
21
2
10
2
10
2









x
21
2
10
2
10
2









x
Agar bu formula x
2
+c=bx ko‘rinishdagi tenglamaga tatbiq etilsa: 
c
b
b
x









2
2
,
1
2
2
bo‘ladi. 
Ma‘lumki, IV – VI tipda echiladigan ikkinchi tartibli tenglamalarni umuman olganda 
0
2



c
bx
x
ko‘rinishdagi tenglamalar deyish mumkin. Yuqoridagi misoldan bu ko‘rinishdagi 
M 
E 
L 
K 
5-x 
C 
N 
Q 
H 
F 
5 x 
B X 
X 
D 

---

83 
keltirilgan kvadrat tenglamaning musbat ildizlarini topish formulasi: 
c
b
b
x










2
2
2
ni 
birinchi bo‘lib Xorazmiy o‘z asarida bayon etganligini ko‘ramiz. 
Tenglamalarni echish bobidan so‘ng Xorazmiy misolda algebraik ifodalar ustida amallarni 
bajarish qoidasini bayon etadi. Algebraik ifodalarda – tenglamalarda qatnashgan miqdordagi ildiz, 
kvadrat va sonlardan tashqari, kvadrat ildiz ishtirok etadi. Rastional algebraik ifodalar ustida to‘rt 
amaldan tashqari, kvadrat ildizlarni bir-biriga ko‘paytirish va bo‘lish hamda ko‘paytuvchining 
kvadrat ildiz ishorasi ostiga kiritish amallari bajariladi. Bu amallarning ayrimlarini bajarish foidasi 
umumiy ko‘rinishda berilib, so‘ng misollar keltiriladi. 
Xorazmiy musbat va manfiy sonlarni hozirgidek ―plus‖ va ―minus‖ terminlari bilan 
atamasdan ularni qo‘shish va ayirish ma‘nosida ―qo‘shiluvchi‖ va ―ayriluvchi‖ sonlar nomi bilan 
ataydi. Masalan, -a, -x va –x
2
larni ayiruvchi son ildiz yoki narsa va kvadrat nomi bilan ataydi va 
ko‘paytirishda ishora qoidasini misolda quyidagicha ko‘rsatadi: (-1)·(-1)=+1 – ayriluvchi bir bilan 
ayriluvchi birning ko‘paytmasi qo‘shiluvchi bir, (-x)·(-x)=+x
2
– ayriluvchi narsani ayriluvchi 
narsaga ko‘paytmsi qo‘shiluvchi kvadratdir, (-x)·(10)=-10x – ayriluvchi narsani qo‘shiluvchi o‘nga 
ko‘paytmasi, ayriluvchi o‘nta narsa 10-x ni ―narsasiz o‘n‖, x-10 ni ―o‘nsiz narsa‖, 100-x
2
ni 
―kvadratsiz yuz‖ va hokozo iboralari bilan ataydi. 
Xorazmiy algebraik ifodalar ustida avval ko‘paytirish so‘ng qo‘shish va ayirish, oraliqda 
esa bo‘lish amallarini bajaradi. Ko‘pxadni bir hadga va ko‘phadga ko‘paytirishning yangi 
o‘rganuvchilar uchun tushunarli bo‘lishini e‘tiborga olib avval aniq sonda, so‘ng rastional va 
kvadrat irrastionallikda ko‘rsatadi. Xorazmiy: ―Men, alohida turgan narsalarni, agar ular ildizlar 
bo‘lsa yoki ildizga biror son qo‘shilgan yoki ayrilgan bo‘lsa, ularni bir-biriga ko‘paytirishni, bir-
biriga qo‘shish va birini biridan ayirishni senga bayon etaman‖ deb va 
)
(
)
(
b
y
a
x



ni 
ko‘paytirishning umumiy qoidasini beradi va bu qoida bo‘icha misollar keltiradi. Bu misollardan bir 
necha namunalar ko‘rsatamiz: 
1)
―Agar birsiz o‘nni birsiz o‘nga ko‘paytirsang, bu o‘nning-o‘nga ko‘paytmasi yuz 
ayriluvchi birni o‘nga – bu ayriluvchi o‘n yana ayriluvchi birni o‘nga – bu ayriluvchi o‘n, hammasi 
birgalikda – sakson, ayriluvchi birni ayriluvchi birga – bu qo‘shiluvchi bir va bular hammasi 
birgalikda – sakson bir‖ shu ko‘paytirish qoidasini hozirgi belgilarda quyidagicha ifodalash 
mumkin: (10-1) ·(10-1)=10·10-1·10-10·1+1·1=100-10-10+1=80+1=81 
2)
―Agar senga narsa bilan o‘nni o‘nsiz narsaga (ko‘paytir) deyilsa, sen ayt: narsaning 
o‘nga (ko‘paytmasi) – bu qo‘shiladigan o‘n narsa narsaning narsaga – bu qo‘shiluvchi kvadrat, 
ayriluvchi o‘nning o‘nga - bu ayriluvchi yuz dirham, ayriluvchi o‘nning narsaga – bu ayriluvchi 
o‘n narsa; shuning uchun sen qo‘shiluvchi o‘n narsani ayriluvchi o‘n narsaga qarama-qarshi 
qo‘yganingdan, ya‘ni etishtirganingdan keyin, dirhamlarsiz kvadrat deysan yoki yuz dirhamsiz 
kvadrat qoladi‖. Hozirgi belgilarda bu (10+x) ·(x-10)=(x+10)·(x-10)=x·x+10·x-10·x-10·10=x
2
+10x-
10x- -100=x
2
-100 bo‘ladi. 
3)
Xorazmiy bir jinsli bo‘lgan algebraik ifodalarni qo‘shish va ayirishni kesmalarda 
tasvirlab isbotlaydi. Masalan: ―O‘nsiz ildiz ostiga ikki yuzga ildiz ostiga ikki yuzsiz yigirmani 
qo‘shishga kelsak, u shaklda quyidagicha bo‘ladi‖-deb Xorazmiy isbotdagi yasashlarni so‘z bilan 
bayon etadi. Uning isbotini hozirgi belgilar bilan mana bunday yozish mumkin: 
Agar 
200
