Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

Kvadrat tenglamani Al-Xorazmiy usulida echish 
 
1.
Xorazmiy yozadi: ―Kvadrat ildizlarga teng bo‘lgan hol, masalan, kvadrat o‘zining 
beshta ildizlariga teng bo‘lsa, u vaqtda bu kvadratning ildizi beshga teng bo‘ladi, uning kvadrati 
yigirma beshga yoki beshta ildizga teng bo‘ladi‖. Ya‘ni 
x
x
5
2

dan 
5

x
25
2

x
birinchi hol 
uchun berilgan bu qoida yana quyidagi misollar bilan tushuntiriladi: 
x
x
4
3
1
2

,
x
x
12
2

,
12

x
,
)
144
(
2

x
. 
x
x
10
5
2

,
x
x
2
2

,
2

x
)
4
(
2

x
Bunda noma‘lumning kvadratining kvadratini topish ham alohida ta‘kidlab o‘tiladi. 
2. ―Kvadratlar songa teng, masalan, ―Agar sen aytsangki, kvadrat to‘qqizga teng, u vaqtda 
to‘qqiz – kvadrat va uning ildizi uch bo‘ladi‖, deb yozadi Xorazmiy. Ya‘ni 
9
2

x
,
3

x
. Bu 
qoida bilan yana shunday misollar echiladi. 
80
5
2

x
,
16
2

x
,
4

x
18
2
1
2

x
,
36
2

x
6

x
3. ―Ildizlar songa teng‖ tenglamasining echilgan quyidagi misollar bilan tushuntiriladi. 
Agar ildiz unga teng bo‘lsa, demak, ildiz uch va uning kvadrati to‘qqiz bo‘ladi. Ya‘ni.
X=3
(x
2
=9) 
4x=20, x=5 (x
2
=25) 
20
2
1

x
x=20 (x
2
=400) 
4. ―Kvadratlar va ildizlar songa teng‖, ya‘ni ax
2
+bx=c shaklidagi kvadrat tenglamani 
masalan, x
2
+10x=39 ni, echish uchun Xorazmiy shunday qoida beradi: ―agar sen aytsangki, kvadrat 
va uning o‘nta ildizlari 39 dirhamga teng, u vaqtda buning ma‘nosi shuki, agar biror kvadratga 
uning ildizlarining o‘n baravari qo‘shilsa, o‘tiz to‘qqiz hosil bo‘ladi‖. Uning qoidasi shunday: 
ildizlar sonini ikkiga bo‘l, bu maslada besh bo‘ladi, uni o‘z-o‘ziga ko‘paytir, yigirma besh bo‘ladi. 
Buni o‘ttiz to‘qqizga qo‘shsang, oltmish to‘rt bo‘ladi. Bundan ildiz chiqar, sakkiz bo‘ladi va undan 
ildizlar sonining yarmini, beshni ayir, uch qoladi, mana shu son izlagan kvadratning ildizi bo‘ladi, 
kvadrat esa to‘qqiz bo‘ladi. 
―Agar, - deb yozadi Xorazmiy – kvadrat bitta bo‘lmasdan, ikkita, uchta, va umuman ko‘p 
sonda bo‘lsa, bitta kvadratga keltirish kerak‖. Boshqacha aytganda, noma‘lumning yuqori darajasi 
oldidagi koifistentni birga aylantirish kerak. Buning uchun tenglamaning har ikki tomonini 

---

77 
kvadratning koifistentiga bo‘lib, hosil bo‘lgan tenglamani yuqorida bayon etilgan qoida bo‘yicha 
echish kerak. Masalan, 2x
2
+10x=48 tenglamani avval x
2
+5x=24 shakliga, 
2
1
x
2
+5x=28 tenglamani 
ham avval x
2
+10x=56 shakliga keltirib, so‘ngra yuqorida bayon etilgan qoida bo‘yicha echish 
kerak. 
Shundan so‘ng Xorazmiy ax2+bx=c shaklidagi kvadrat tenglamani echish uchun yuqorida 
berilgan qoidani geometrik usul bilan isbotlaydi. 
Kvadrat tenglamalarga keltirilgan masalalar birinchi marta qadimgi Bobilliklar tomonidan 
echilgan. Bunday tenglamalarning sonli echimlarini aniqlash qoidalari ularga ma‘lum edi. Qadimgi 
yunon matematiklari bunday tenglamalarni ―geometrik algebra‖ yordamida echganlar. Masalan, 
mashhur yunon geometrik Evklid (eramizdan avvalgi III asr) o‘zining ―Negizlar‖ asarining 
ikkinchi kitobida kvadrat tenglamalarni kesmalar va yuzlar yordamida geometrik usulda echishni 
ko‘rsatadi. Xorazmiy esa Evklid foydalangan shakllardan emas, balki boshqa shakllardan
foydalanib, ikkinchi darajali tenglamalarni echishni o‘z geometrik usullari bilan izohlaydi. Masalan, 
x
2
+10x=39 yoki umumiy holda x
2
+bx=c shaklidagi tenglamani echishni quyidagicha tushuntiradi. 
(buni xozirgi belgilarga asosan bayon etamiz) 
1-shaklda ko‘rsatilgandek
C 
A
X
2
b 
4
10
x 
4
10
AB kvadratni olib, uni x
2
bilan belgilanadi. Bu kvadratning xar bir tomoniga balandligi 
4
10
bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak yasaladi. Bu shaklning qolgan burchaklarida kvadratlar yasalsa, 
ularning tomonlari 
4
10
dan bo‘lib, hamma kvadratlar yuzlarining yig‘indisi 
25
)
2
5
(
4
2

ga teng 
bo‘ladi. 
Shunday qilib, hosil qilingan katta kvadratning tomoni 
2
10
