|
12025
3604
ko‘rinishda yozib 12 dan 3 ni ayiradi, qoldiq 9 ni 12
ni o‘chirib, uning o‘rniga 9025
3604 ko‘rinishida yozadi. So‘ngra 9 dan 1 ni olib, quyi
xonadagi nol bilan hosil bo‘lgan 10 dan 6 ni ayiradi, qoldiq 4 ni nolni o‘rniga yozadi. 8425
3604 shu tartibda qolgan raqamlarni ham ayirganda oxirgi natija 8421 hosil
bo‘ladi. Xorazmiy amalni hisoblash taxtasida bajarganligi uchun raqamlarni o‘chirib o‘rniga yozish
qulay bo‘lgan. Qog‘ozda esa bu tartibda hisoblash noqulay.
72
Xorazmiy ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish va ildiz chiqarish amallarini bajarish
qoidasini umumiy ko‘rinishda bergandan so‘ng, bu qoida bo‘yicha har bir amalga tegishli misol
ko‘rsatadi. Masalan, 2326 ni 214 ga ko‘paytirish uchun ular 2326
214 ko‘rinishda joylashtiriladi va ko‘paytiruvchi 214 yuqori xonasidan boshlab, ko‘payuvchi
2326 ni yuqori honasidagi 2 ga ko‘paytirib, birinchi hususiy ko‘paytma 428 ni 214 ning, ustiga 2
ning o‘rniga yoziladi va 214 ning raqamlarini bir xona o‘ngga suriladi. Bunda shunday ko‘rinish
hosil bo‘ladi.
4922
642
428
; yig‘indi 4922 ni 4283 ning o‘rniga yoziladi va 214 ning raqamlari bir xona
o‘ngga suriladi, u holda ushbu ko‘rinish hosil bo‘ladi. 492226
214.
Shu tarzda 214 ni ko‘payuvchining o‘nlar xonasidagi 2 ga va birlar xonasidagi 6 ga
ko‘paytirilsa, har bir bosqich quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
1) 4922
496486
2) 49648
+ 428
214
+1284
49648
497764
Oxirgi natija 497764 esa 2326 ning 214 ga ko‘paytmasidir.
Xorazmiy sonlardan kvadrat ildiz chiqarishni ikki had yig‘indisining kvadratini yoyish
asosida bayon etadi.
Masalan,
5625
dan kvadrat ildiz chiqarish talab qilinsa, 5625 ni granlarga ajratilganda,
izlangan ildiz 10x+y ko‘rinishidagi ikki xonali sondan iborat bo‘lish kerak ya‘ni:
y
x
10
5625
(2.1)
ildizning ta‘rifiga ko‘ra
2
)
10
(
5625
y
x
yoki
2
2
)
10
(
2
)
10
(
5625
y
y
x
x
(2.2)
tenglikka asosan, ildizning o‘nlar xonasidagi raqam kvadrati 56 ga yaqin bo‘lgan 7 soni topiladi va
shunday ko‘rinishda joylashtiriladi.
7
56'25
7
7 ning kvadrati 49 ni 56 dan ayiriladi. 56 ning raqamlarini o‘chirib, o‘rniga qoldiq 7
yoziladi.
7
725
7
(2.3)
Topilgan
7
x
(1.2) tenglikka qo‘yilsa, ushbu tenglama kelib chiqadi:
2
)
7
10
(
2
4900
5625
y
y
y
y
)
270
(
725
(2.4)
Xorazmiy ildizning birlikar xonasidagi raqam ―y‖ ni (2.4) tenglama asosida aniqlaydi.
Avval (2.4) dagi kichik qavs ichidagi birinchi yig‘indi 270 ni, so‘ngra ildizning birlar xonasidagi
raqam ―y‖ ni topadi. Xorazmiy bu xisoblash bosqichini mana shunday bajaradi: (2.3) dan pastdagi
7 ni ikkilantirib, hosil bo‘lgan 14 ni bir xona o‘ngga suradi, u holda
7
7'25
14
(2.5)
ifoda hosil bo‘ladi. Bunda pastda (2.4) dagi kichik qavs ichidagi birinchi qo‘shiluvchi
140
70
2
hosil bo‘ladi. So‘ngra ildizning birliklar xonasidagi raqamni topishga kirishadi. Buning
uchun
)
140
(
y
dagi ―y‖ ning o‘rniga shunday eng katta bir xonali son ―y
1
‖ qo‘yishni va
)
140
(
y
yig‘indini ―y
1
‖ ga ko‘paytirganda 725 dan katta bo‘lmasligini uqtiradi, bu izlangan son
5
1
y
bo‘ladi. Shu sonni (2.4) tenglamaning o‘ng tarafida ―y‖ o‘rniga qo‘yilsa
725
5
)
5
140
(
bo‘ladi.
Muhammad Xorazmiy bu hisoblashni shunday bajaradi:
73
145
725
75
145
000
75
berilgan sonning yuqorisiga yozilgan son 75 izlangan ildiz bo‘ladi,
ya‘ni
75
5625
Xorazmiy, kvadra ildizdan rastional son chiqmasa, uning taqribiy qiymatini
a
b
b
a
b
a
N
2
2
qoida asosida hisoblaydi. Bunda
N
- berilgan son,
a
– undan chiqadigan
kvadrat ildizning butun qismi,
b
- qoldiqdir.
Bu ko‘rsatilganlardan tashqari, Muhammad Xorazmiy o‘zining arifmetik asarida ham,
algebraik asarida ham bo‘lish amalini, kasr sonlar va ular ustida bajariladigan amallarni darajaga
ko‘tarishni to‘la bayon qiladi.
Shu bilan birga, ikkilantirish, uchlantirish va yarimlatishni alohida amal sifatida qo‘llaydi.
Va ularni rastional sonlar va kvadrat irrastionalliklarga tadbiq qiladi. Xorazmiyning bu amallari
uchun quyidagi uch misol xarakterlidir:
1)
x
x
x
4
2
2
2
2)
x
x
x
9
3
3
3
3)
x
x
x
x
4
1
2
1
2
1
2
1
Agar
x
kvadrat son, masalan 9 bo‘lsa, bu ildizlar quyidagicha hisoblanadi:
1)
6
36
9
2
2
9
2
2)
9
81
9
3
3
9
3
3)
2
1
3
4
1
9
9
2
1
2
1
9
2
1
Xorazmiy kvadrat ildizlar ustida amallar bajarishda avval ildizlarni bir-biriga bo‘lish,
so‘ng ko‘paytirishni misollar bilan ko‘rsatadi:
1) ―Agar sen ildiz ostida to‘rtni ildiz ostida to‘qqizga bo‘lishni istasang, to‘rtni to‘qqizga
bo‘l, hosil bo‘lgan to‘qqizdan to‘rt kasrni ildizdan chiqarsang, bu uchdan ikki bo‘ladi‖. Ya‘ni
3
2
9
4
9
4
chiqadi.
Xozirgi davrda kasrda ildiz chiqarishni bayon etib, bundan natija tariqasida ildizlarni
bo‘lishga ta‘rif beriladi. Ya‘ni, agar
a
>0, b>0 bo‘lsa,
b
a
b
a
bo‘ladi.
Agar ildiz tashqarisi oldida son bo‘lsa, ildizlarni bo‘lish qoidasi quyidagi ko‘rinishda
bajariladi:
2)
2
1
4
4
1
20
4
81
4
81
4
9
3
3
4
9
3
3)
4
3
2
2
1
1
4
4
1
2
4
4
9
4
9
4
1
4
9
2
1
2
1
4
5
2
1
Kvadrat irrastionalliklarni ko‘paytirishni Xorazmiy ushbu konkret misolda bajaradi. 4)
50
10
5
10
5
Ildiz ishorasi oldida son bo‘lgan hol uchun quyidagi amal bajariladi:
36
576
36
36
36
36
4
3
3
9
2
2
4
3
9
2
Xorazmiy o‘zining arifmetik asari orqali butun dunyoga hind raqamlarini va ularga
asoslangan o‘nli pozistion hisoblash sistemasini tarqatdi. Hisoblashda Rim raqami va sonlarni so‘z
74
orqali yozib bajarishdagi noqulayliklarni bartaraf qildi, bu bilan fanga algorifm tushunchasini
kiritdi.
Algorifm olimning nomidagi ―al-Xorazmiy‖ iborasini Evropa tillarida buzilib
o‘zgartirilgan talaffuzidir. Evpropada bir necha asrlar davomida Muhammad Xorazmiyning
arifmetik asarini o‘rganib, bu asar asosida yozilgan kitoblarda al-Xorazmiy so‘zi ―Al‘xerizmus‖,
―Algorizmus‖, ―Algaritmus‖ va hokazo ko‘rinishida o‘zgarib, oxirida algoritm yoki algorifm
nomini oladi.olimning o‘zgartirilgan ismi Algorizmus va Algoritmus shakllarida O‘rta asrda
Evropada o‘nli sanoq sistemasining sinonimi bo‘lib qoladi.
Ayrim burjua matematik tarixchilari Xorazmiyning arifmetik asaridagi metodlari va
usullarining originnaligi va mustaqilligini kamsitishga urinadilar. Ular Xorazmiy hindlardagi tayyor
o‘nli sanoq sistemasini ―ko‘chiruvchi‖ degan ma‘noda tushuntirmoqchi bo‘ladilar. Bunga javoban
A.P.Yushkevich
Do'stlaringiz bilan baham: |
