|
y
x
y
x
4
1
3
4
1
3
4
1
.
2)
―Hissadan to‘rtdan bir hissani ayirsang to‘rtdan uch hissa
y
y
y
4
3
4
1
qoladi‖.
3)
―Mulkdan o‘n ikkidan bir mulkni ayirsang o‘n ikkidan bir mulk
x
x
x
12
11
12
1
qoladi.
67
4)
―To‘rt hissaga to‘rtdan uch hissani qo‘shsang o‘n ikkidan o‘n bir mulkka teng
y
x
4
3
4
12
11
bo‘ladi‖.
5)
―Mulkni butunga aylatirsang besh butun o‘n birdan ikki hissaga teng
y
x
4
3
4
12
11
dan
y
y
y
y
x
11
2
5
11
57
4
12
4
19
11
12
4
3
4
bo‘ladi‖.
Demak, oxirida
y
x
11
57
(4.2) hosil bo‘ladi. Xorazmiy (4.2) aniqmas tenglamaning butun
echimini topishni nazarda tutib, har bir o‘g‘il hissasini y=11 deb qabul qilib mulkni x=57 va vasiyat
qilingan mablag‘
13
2
11
19
4
1
11
3
4
1
y
x
y
ekanligini ko‘rsatadi. Shu gruppadagi
masalalarni echgandan so‘ng masala shartiga qo‘shimcha parametr d ni kiritsh bilan ikkinchi
gruppaga kiruvchi to‘rtta masala hal qilinadi. Shu to‘rtta masala shartlari avval sodda, oxiri esa
murakkablashib boradi, oxiri to‘rttinchi masalada agar mulkni
x
, qizning hissasini
u
, dirhamni va
o‘g‘il
hissasini
2y
bilan
belgilansa,
masala
sharti
bo‘yicha:
8
5
1
3
4
1
4
5
1
8
x
d
d
d
y
x
d
y
x
d
d
y
x
d
y
y
x
(4.3) tenglama
hosil bo‘ladi.
Birinchi navbatda, Xorazmiy (4.3) aniqmas tenglamadagi noma‘lum sonni bitta
kamaytirib, tenglamani soddalashtirishni tavsiya qiladi va bu usulni juda chiroyli deb hisoblaydi.
Bu usulda u, mulkning to‘rtdan bir bo‘lagi
x
4
1
ni olti dirham (6d) ga yoki mulkni yigirma to‘rt
dirham (x=24d) deb qabul qilib, (4.3) tenglamani soddalashtiradi va
y
ni
d
orqali belgilaydi, ya‘ni
d
d
y
172
143
1
172
315
(4.4) ni topadi. Shu bilan, masalani birinchi gruppaga keltiradi. (4.4) tenglikdan
d=172 deb qabul qilib, (4.3) tenglamaning butun echimlari y=135 va x=4528 topiladi.
Butun topishni hohlaganlar uchun deb Xorazmiy ikkinchi navbatda (4.3) tenglamani
soddalashtirib,
d
y
x
20
47
5
43
240
181
(4.5) ko‘rinishiga keltiradi. Agar (4.5) tenglamada y=362 deb
olinsa, x=5256 bo‘ladi.
Har ikkala holda ham parametr
d
ning butun qiymatlarida (4.3) tenglamaning butun
echimlari aniqlanadi. Shu bilan parametr
d
ning turlicha qiymatlarida vasiyatning bir ko‘rinishiga
tegishli masalalarni echish formulasi chiqariladi.
2-masala. Bahosi 300 dirham bo‘lgan qul kasalligi uchun bo‘shatilgan. Qul o‘lib undan
400 dirham va ikki qiz qoladi. Xo‘jayin 20 dirham qarz, qul esa boshqa bir kishidan 10 dirham qarz
bo‘lgan. Qul o‘z mulkini uchdan bir qismini bir odamga vasiyat qilgan. Qul qoldirilgan vasiyat
(Xorazmiy qulni narxi bilan uning bo‘shatish uchun to‘langan pulning farqini ―Qul qoldirilgan
vasiyat‖ deb ataydi) necha dirham bo‘ladi?
Xorazmiy tenglama tuzishni quyidagi bosqichlarda bajaradi va uni echadi:
1)
qulga qoldirgan vasiyatni ―narsa‖
(x)
deb qabul qiladi;
2)
qulni bo‘shatish uchun narsasiz uch yuz
(300-x)
kerak bo‘ladi;
3)
qulning qoldirgan 400 dirhamini xisobga olganda, merosxo‘rlarga narsa va yuz dirham
[400-(300-x)=400-300+x=100+x]
mulk qoladi;
4)
qulning 10 dirham qarzi to‘lansa, narsa va to‘qson dirham (90+x) mulk qoladi.;
68
5)
vasiyat bo‘yicha bir odam mulkning uchdan bir qismi – uchdan bir narsa va o‘ttiz
x
x
3
1
30
90
3
1
ni oladi;
6)
merosxo‘rlarga
uchdan
ikki
narsa
va
oltmish
x
x
x
x
3
2
60
)
90
(
3
2
)
90
(
3
1
90
mulk qoladi.;
7)
qulning ikki qizi, qolgan mulkning
3
2
qismini, ya‘ni to‘qqizdan to‘rt narsa va qirqni,
ya‘ni
x
x
x
x
9
4
40
)
3
2
60
(
3
2
)
90
(
9
4
)
90
(
3
2
3
2
ni oladi;
8)
xo‘jayinda
–
to‘qqizdan
ikki
narsa
va
yigirma
x
x
x
x
9
2
20
)
90
(
2
9
)
90
(
9
4
)
90
(
3
2
qoladi.;
9)
merosxo‘rlar xo‘jayini qo‘liga – to‘qqizdan etti narsasiz uch yuz yigirma
x
x
x
x
x
9
7
320
9
2
20
300
)
90
(
9
2
300
qoladi.;
10)
bundan xo‘jayin 20 lirham qarzini to‘lasa, qolgan mablag‘ to‘qqizdan etti narsasiz uch
yuz
x
x
x
9
7
300
20
)
90
(
9
2
300
qulga qoldirilgan vasiyatning ikki baravariga
(Xorazmiy 2-masala tipidagi masalalarni echishda, oxirgi qolgan mablag‘ni, qulga qoldirgan
vasiyatning ikki baravariga tenglaydi) teng bo‘ladi, ya‘ni
x
x
x
2
20
)
90
(
9
2
300
yoki
x
x
2
9
7
300
(4.6). (4.6) ga al-jabr operastiyasi qo‘llanilsa:
x
x
9
7
2
300
, tenglamaning
o‘ng tomonini qo‘shib, noma‘lum ―x‖ topilsa:
x
9
7
2
300
yoki
x
9
25
300
, bundan
108
25
9
300
x
. Demak, qulga qoldirilgan vasiyat 108 dirham ekan.
Bu masalani sof arifmetik usulda hal qilish qiyin bo‘lganligi sababli, ob‘ektiv ravishda
algebraik usulni qo‘llaydi va algebraning asosiy bo‘limi – tenglamalarni meros taqsimlashga
mohirlik bilan tatbiq qiladi. Garchi Xorazmiydan avval meros taqsim qilish masalasi bilan qadimiy
Bobil, Misr va yunonlar shug‘ullangan bo‘lsalarda, Xorazmiy bu masalani musulmon xuquqi
normalari asosida meros taqsim qilishning nazariy va amaliy asoslarini birinchi bo‘lib ko‘rsatadi.
Shuning uchun Xorazmiyning meros taqsim qilish nazariyasi va amaliyotiga asos soluvchi deyish
mumkin. xorazmiydan keyingi davrlarda O‘rta asr sharq olimlari Karxiy,Nasaviy, Abu Komil,
Sirojiddin Sitovandiy, Pusiy, Jamshid koshiy va boshqalar algebrani taraqqiyot ettirish bilan meros
taqsim qilish bo‘limining ilmiy va amaliy nazariyasini boyitadilar. Masalan, XII asrda yashagan
matematik va xuquqshunos Sirojiddin Sitovandiyning algebraga doir asarlarida va 1203 yilda
alohida yozilgan (―Sirojiddinning vorislik xuquqi‖) (―Al-vosixa as-Sirojiya‖) nomli asarida meros
taqsim qillishning umumiy ilmiy va amaliy nazariyasi beriladi. Sitovandiydan keyin mutaxassislar
uning bu asarini Sharq va G‘arb tillariga sharhi bilan tarjima qiladilar va bu asar uzoq vaqt Islom
mamlakatlarida asosiy qo‘llanma vazifasini bajarib keldi.
XX asrgacha madrasada matematika o‘qitishdan asosiy maqsad matematikaning
amaliyotga tatbiqi, chunonchi, meros taqsim qilishning ilmiy va amaliy nazariyasini biluvchi
mutaxassislar tayyorlashdan iborat edi. Bunday mutaxassis ―Faroziyion‖ (―Meros bo‘luvchi‖
69
ma‘nosida) nomi bilan atalib, u madrasani bitirgandan so‘ng mahalliy sud idoralarida meros
taqsimlash masalasi bilan shug‘ullanardi. Yuqorida aytilganlardan shunday xulosaga kelish
mumkin: O‘rta asrdan XX asrgacha Islom mamlakatlarida meros taqsimlashning yana bir ilmiy va
amaliy nazariyasi matematika va uni o‘qitish usulini taraqqiy ettirishning asosiy stimullaridan biri
bo‘lgan
Do'stlaringiz bilan baham: |
