Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

c
bx
ax
  yoki 
0
2



a
c
x
a
b
x
    tenglama  ildizlarini  topish 
uchun   
a
c
a
b
a
b
x










2
2
2
    yoki 
a
ac
b
b
x
2
4
2




  formula  bilan  ifodalanuvchi  qoida 
beradi.va  so‘ngra  bu  foidaning  geometrik  isbotini  ko‘rsatadi.  Uning  geometrik  isbotlari  sonli 
misollar bilan umumiy xarakterga ega bo‘lgan isbotlardir. 
Xorazmiyning  tenglama  echish  usullaridan  namunalar  keltiramiz.  Masalan,  V 
ko‘rinishdagi tenglamalardan shunday misolni ko‘raylik. Kvadrat va yigirma bir dirham o‘n ildizga 
teng; u hozirgi belgilashlarda quyidagicha: x
2
+21=10x            (3.1) 
 
                     N 
 
                     L 
                                      K     
  
 
F 
 

---

 
81 
Xorazmiy  qoidasi  bo‘yicha  bu  tenglamani  echish  usulini  hozirgi  belgilashlarda  ham 
bajarsak, (misolda a=1, B=10, C=21);   Echish: Hozirgi belgilashlarda: 
1)
 
Ildiz sanog‘ini yarimlat, bu 5 bo‘ladi; 
5
2
10
2


b
 
2)
 
Yarimlangan  ildiz  sanog‘ini  o‘z-o‘ziga  ko‘paytir  –  bu  25  bo‘ladi; 
25
5
5
2
2
2
2











b
b
b
; 
3)
 
Yarimlangan  ildiz    sanog‘ining  kvadratidan  yigirma  birni  ayir,  bunda  4  qoladi;  
4
21
2
10
2
5
2
















c
b
 
4)
 
To‘rtni kvadrat ildizdan chiqarsang 2 bo‘ladi; 
2
4
21
2
10
2
2

















c
b
 
5)
 
Yarimlangan 
ildiz 
sanog‘idan 
2 
ni 
ayirsang 
3 
bo‘ladi; 
3
2
5
2
10
2
10
2
2
2
2




















c
c
b
b
 
6)
 
Agar  xohlasang  yarim  ildiz  sanog‘iga  2  ni  qo‘shsang  7  bo‘ladi; 
7
2
5
21
2
10
2
10
2
2
2
2




















c
b
b
 
Oxirida 
har 
ikkalasi 
izlangan 
ildiz 
bo‘ladi, 
ya‘ni 
2
5
21
2
10
2
10
2
2
2
2
2
1




















c
b
b
x
,   x
1
=3,   x
2
=7 
Agar 
2
2






b
>c  bo‘lganda  V  ko‘rinishdagi  kvadrat  tenglamalarning  hamma  vaqt  ikkita 
musbat ildizi birligini e‘tiborga olib Xorazmiy – bu ko‘rinishdagi tenglamalarning ildizlarini topish 
uchun  yarim  ildiz  sanog‘iga  ildizdan  chiqqan  sonni  qo‘shish  va  ayirish  amalini  ishlatish  zarur, 
deydi. Agar 
2
2






b
mumkin emas‖ va agar 
2
2






b
=c  bo‘lsa tenglamaning ildizi, ildiz sanog‘ining yarmiga teng deydi. 
IV  va  VI  tur  tenglamalarining  har  birining  birgina  musbat  ildizi  borligini  nazarda  tutib,  bu 
ko‘rinishdagi tenglamalarda faqat birgina ildiz bor, deb uqtiradi. 
Xorazmiy  yuqorida  ko‘rsatilgan  (3.1)  tenglamani  echish  qoidasining  to‘g‘ri  ekanligini 
geometrik  metod  bilan  VI  bobda  isbot  qiladi.  Uning  isbotini  hozirgi  simvollar  bilan  ko‘rsatilsa 
quyidagicha bo‘ladi. Uzunligi ildiz sanog‘i 10 ga teng ND kesmaga tomoni noma‘lum  X bo‘lgan 
kvadrat AD ni yasaydi.      (9-shakl) 
                    b  x  

---

 
82 
 
 
 
 
9-shakl. 
                                                      
5 
Kesmaning 
qolgan 
qismini 
bir 
tomoni AB ga teng to‘g‘ri to‘rtburchak EB ga to‘ldiradi; ED to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi S
ED
=10x 
va S
AD
 = x
2
  (3.2) bo‘ladi. (3.1) tenglama va (2) tenglikni e‘tiborga olganda, to‘g‘ri to‘rtburchak EB 
ning yuzi S
EB
 = 21 bo‘lishi kerak. 
Berilgan kesma ND o‘rtasidan FK perpendikulyar chiqarib, uning davomiga tomoni (5-x) 
bo‘lgan  kvadrat  LH  yasaladi.  Qolgan  qismiga  MQ  to‘g‘ri  to‘rtburchakni  joylashtirish  natijasida 
tomoni 5 va yuzi S
MF
 = 25 (3.3) ga teng bo‘lgan MF katta kvadrat hosil bo‘ladi. Shakldagi MQ, QF 
va HB to‘g‘ri to‘rtburchakning o‘lchovlari  x  va 5-x  ga teng, shuning uchun ular bir-biriga tengdir, 
ya‘ni  S
MQ
+S
QF
=S
HB
=x(S-x);  demak  S=S
M=21.  (3.4).  kichkina  kvadrat  KH    ning  yuzini 
shunday almashtirish mumkin; S
MF
-
SM=S
(3.5) 
(3.5), (3.3) va (3.4) tenglamalardan: 25-21=(5-x)
2
 yoki (5-x)
2
=4   (3.6) 
Kichik  kvadrat  LH  ning  bir  tomoni  5-x=2    bundan  x=3    bo‘ladi.  Demak,  noma‘lum 
kvadratning tomoni AD=3; bu (3.1) tenglmaning bitta echimi bo‘ladi. 
Berilgan  (3.1)  tenglamaning  ikkinchi  ildizi  to‘g‘ri  ekanligini  isbotlashda  shakl  bir  oz 
o‘zgartirib  chiziladi.  Berilgan    DN=10    kesmaga  tomoni  DB=x  bo‘lgan  CB  kvadrat  yasaladi. 
Kesmaning qolgan qismi BN ga ikkinchi tomoni EN=x  bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak AN chiziladi 
(2-shakl). Bu holda S
CN
=10x, S
CB
=x
2
 va S
CN
=S
CB
+S
AN
 yoki 10x=x
2
+S
AN
  (3.7) 
(3.1)  va (3.7) dan S
AN
 = 21 (3.8) DN kesmaning o‘rtasidan tomonlari FB=FH=x-5 ga teng 
bo‘lgan  HB  kvadrat  chiziladi,  kvadratning  HQ  tomoniga  ikkinchi  tomoni  HK=BN=ZM=10-x  ga 
teng bo‘lgan KQ to‘g‘ri to‘rtburchak chizilganda, tomoni 5 va yuzi S
KN
=25  (3.9)  ga  teng  bo‘lgan 
KN  kvadrat  hosil  bo‘ladi.  Yasalgan  KQ,  QN  va  AM  to‘g‘ri  to‘rtburchaklarning  bir-biriga 
tengligidan  S
AN
=S
HKMNBQ
=21  va  kichik  kvadratning  yuzi:  S
HB
=(x-5)
2
    (3.10)  shakldan  S
KN
-
S
HKMNBQ
=S
HB
 (3.9) va (3.10) dan: 25-21=(x-5)
2
  (3.11) yoki  4=(x-5)
2
 ; CB kvadratning tomoni x-
5=2;  bundan  x=7.  Bu  (3.1)  tenglamaning  ikkinchi  ildizi.  Shunday  qilib,  Xorazmiy  ―Geometrik 
algebra‖ metodidan foydalanib (3.1) tenglamani echish qoidasini to‘g‘ri ekanligini isbot qiladi. 
Xaqiqatdan (3.6)va (3.11) tengliklarning shakli quyidagicha ketma-ket aynan almashtirish 
natijasida o‘zgartirsak, yuqorida ko‘rsatilgan formula hosil bo‘ladi:  
(3.6) dan: 
           (3.11) dan:   
25-21=(5-x)
2
 
25-21=(x=5)
2   
21
25
5


