Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

 
4.”Donishnoma”  asarida arifmetika masalalari 
 
―Donishnoma‖    asaridagi  to`rtta  matematik  fanlardan  arifmetikaga  bag`ishlangan  bo`lim, 
muzika  bo`limidan  oldin  bayon  etilgan  bo`lib,  bunda  asosiy  arifmetik  masalalar  bayon  etilgan. 
Arifmetika bo`limi 7 bobdan iborat. 
Birinchi  bob,  sonlarning  turi  va  umumiy  xossalari  haqida.  Son  deb  yozadi  ibn  Sino,  bu 
birliklar to`plamidir. YA`ni ixtiyoriy son birdan katta bo`lgan natural sondir. 
Sonlar  juft  va  toq  sonlarga  bo`linadi,  ularning  xossalari  ko`rsatiladi.  Bular  quyidagilardan 
iborat: 
1.Sonlar ketma-ketldigida, xar bir son, o`zidan teng uzoqlikda turgan ikki son yig`indisining 
yarmiga  teng.  Masalan,  agar  1,2,3,…,n,n

1,n

2…  sonlar  ketma  ketligi  berilgan  bo`lsa,  u  xolda 
birdan boshqa xar bir son quyidagi formula bilan ifodalanadi: 
2.Sonlar  ketma  ketligida,bu  ketma  ketlik  boshidan  va  oxiridan  teng  uzoqlikda  turgan 
sonlarning  yig`indilari  o`zaro  teng  bo`ladi.  Bu  arifmetik  progressiya  tuzuvchi  sonlar  qatorining 
xossasini  ifodalaydi.  YA`ni  5,  10,  15,20,25,30  ketma-ketligida  5

30 

  10 

25

35  va  4,6,8,10,12 
ketma–ketligida 4

12 

 6 

10 

 8

8 

 16. 
3.Birdan  boshlab,  istagan  songacha  berilgan  sonlar  ketma-ketliginingyig`indisini  topish 
uchun  hadlar  sonining  yarmi  bilan  hadlar  soniga  bir  qo`shilgan  sonni  ko`paytirish  kerak.  Bu 
arifmetik  progressiya  tuzuvchi  sonlar  yig`indisini  ifodalavchi  xossa  xisobotlanadi.  YA`ni,  1,2,…n 
berilganda 1 

2

3 

 … 

  
  4.Agar  har  qanday  ketma-ketlikda  birdan  boshlab,  biror  songacha  bo`lgan  sonlar  va 
aksincha  bu  sondan  boshlab,  birgacha  bo`lgan  sonlar  qo`shilsa,  oxirgi  sonning  kvadrati  xosil 
bo`ladi. YA`ni 1,2,3,4,…, n ketma-ketlikda: 1 

2

3 

 … 

 n Q(n-1)Q(n -2)Q…Q2Q1q n² 
5.Agar  toq  sonlar  birdan  boshlab  qushilsa,  xadlar  sonining  kvadrati  xosil  bo`ladi.  YA`ni 
1,3,5,7,9,…,2n –1 ketma-ketlikda: 1 

3

5… 

(2n-1)

n². 
Ikkinchi bob juft sonlar xaqida. Bu bobda juft sonlarning xossalari, juft-juft sonlar, juft-toq 
sonlar, ularning xossalari bayon etilgan. 
Agar ketma-ket juft sonlar berilgan bo`lsa, ya`ni  2,4,6,8,…,2 n. U xolda 2 

 4 

 6 

8 … 

…,2 n ) 

 n²

n. Juft-juft son shunday sonki, uni ikkiga va xosil bo`lgan sonning yarimlarining har 
birini  yani  ikkiga,  hosil  bo`lgan  sonning  choraklarining  har  birini  yana  ikkiga  va  hokazo  bo`lish 
mumkinki,toki oxirida bir soni hosil bo`lsin. 

---

 
41 
Bunday juft-juft sonlar ketma-ketligining yig`indisi birdan boshlab quyidagicha topiladi: 
 
1Q2Q2²Q2³Q…Q2ⁿq12ⁿ¹-1 
 
Uchinchi  bob  toq  sonlar  haqida.  Bu  bobda  toq  sonlarning  uch  xil  shaklda  bo`lishi  va 
ularning xossalari bayon etilgan. Bular: tub sonlar,murakkab sonlar, 
 O`zaro tub sonlardan iborat. Masalan, 3,5,7,11 tub sonlar, 9,15,21,25 murakkab sonlar. 9 va 
25 o`zaro tub sonlar bo`ladi. 
Tub  sonlarni  olish  uchun  iskandariyalik  olim  eratosfen  (eramizdan  oldingi  276-194  yil) 
tomonidan berilgan ―g`alvir jadvali‖ usulini  qo`llash mumkinligini ko`rsatiladi. Bunda xamma toq 
sonlar  ketma-ketligini  yozilib,  so`ng  3,5,7,11…  sonlarga  karrali  bo`lgan  sonlar  uchiriladi.U  xolda 
qolgan sonlar – tub sonlar bo`ladi: 1,3,5,7,11,13,17,19,23… 
To`rtinchi  bob  ―zoid‖,  ―noqis‖  va  ―mukammal‖  sonlar  xakida.  Bu  bobda  sonlar,  ularning 
kiymatlari  bilan,  shu  son  bo`luvchilarning  yig`indisi  bir-biriga  tengligi  va  teng  emasligiga  qarab, 
uch  xilga  bulinishi  va  ularning  xossalari  bayon  etilgan.  Agar  biror  son  buluvchilarining  yig`indisi 
shu sonning o`zidan katta bo`lsa, u ―zoid‖ son deb aytiladi. Masalan, 12 ―zoid‖ son, chunki 1 

2

3 

4 

6>12.  Agar  biror  sog  buluvchilarining  yig`indisi,  u  sonning  o`zidan  kichik  bo`lsa,  u  «noqis» 
son  deb  aytiladi.  Masalan:  8,  chunki  1 

2

4<  8.  Agar  biror  son  bo`luvchilarining  yig`indisi,  u 
sonning o`ziga teng bo`lsa, u «mukammal» son deb aytiladi. Masalan, 6 va 28  mukammal sonlar, 
chunki 1 

2

3 q 6,  1

2

4

7

14q28. 
SHuni  aytish  kerakki,  «mukammal  sonlar»  tushunyachasi  juda  qadimiy  tushuncha  bo`lib, 
bunday  sonlar  pifagorchilar  asarlarida  bayon  etiladi.  «Noqis»  va  «zoid»  sonlar  tushunchasi  esa 
keyinchalik paydo bo`lgan tushunchalar hisoblanadi. 
2ⁿ shaklida har bir juft-juft son quyidagi yig`indi vositasida ifodalanadi. 
1

2

2²

2³

… 

2ⁿ־¹q2ⁿ-1 
Demak, 2ⁿ shaklidagi son, o`z bo`luvchilarining yig`indisidan bitta ortiqdir. SHu sababli har 
handay juft-juft son ―noqis‖ son hisoblanadi. Masalan, 2¹ q 16 sonining bo`luvchilari yig`indisi  
1

2

2²

2³q 15 va 15 < 16. Demak, 16 ―noqis‖ sondir.  
So`ngra  juft-juft  sonlardan  ―mukammal‖  son  hosil  etish  qoidasini  beriladi.  Ibn  Sino  bayon 
etgan qoidani quyidagi formula bilan ifodalash mumkin: 
K q(1

2

2²

2³

… 

2ⁿ־¹)•2ⁿ-1q (2ⁿ-1)•2ⁿ־¹   
 
(1) 
Bundan  r  va  2ⁿ-1  tub  sonlar.  Masalan,  1,2,4  sonlariga  bu  qoida  tadbiq  etilsa: 
(1

2

2²)•2²q7•4q28  ―mukammal  son‖  hosil  bo`ladi.  Bunda  ―mukammal  son‖  juft  son  bilan  toq 
sonning  ko`paytmasiga  teng  bo`lganligi  sababli,  u  juft  bo`ladi.  SHuning  uchun  ibn  Sino 
―mukammal son‖ faqat son bo`lishi kerakligi haqida yozadi. YUqoridagi formulada  
r  q2 bo`lsa, 
k 
q 6; r  q3 bo`lsa, 
k 
q 28; r  q5 bo`lsa, 
k 
q 496; r  q7 bo`lsa, 
k 
q 8128 bo`ladi. 
 
Demak, ―mukammal son‖ birliklar orasida bitta, o`nliklar orasida bitta va nihoyat mingliklar 
orasida  ham  bitta  bo`ladi.  Bunday  sonlar  yunon  olimi  Nikoxmaxning  ―Arifme6tikaga  kirish‖ 
kitobida keltirilgan. 
Navbatdagi ―mukammal son‖ Regiomontan (1436 - 1576) tomonidan topilgan. Bu son: 
k 
q 2¹²(2¹³- 
1)q  33550336.  SHuni  qayd  qilish  kerakki,  hozirgi  vaqtda  har  qanday  juft  ―mukammal  son‖ 
yuqoridagi (1)
 
 
Formula  shaklida  ifoda  etilishi  isbotlangan.  Lekin  birorta  ham  toq  mukammal  son  topilmagan. 
Ammo toq mukammal sonlar bo`lishi mumkin emasligini ham isbot etilmagan. 
 
Beshinchi  bob  nisbatlar  tug`risida.  Bu  bobda  nisbat,    uning  ta`rifi  ―oshirilgan  nisbatlar‖, 
―etishmaydigan  nisbatlar‖,  ularning  xossalari  bayon  etilgan.  Oshirilgan  nisbatlar,  ya`ni  katta 
sonning kichik songa nisbati quyidagi xollarda bo`lishi mumkin: 
 
Bunday  nisbatlarning  xossalari  konkret  misollarda  bayon  etiladi.  Etishmaydigan  nisbat, 

---

 
42 
ya`ni  kichik  sonning  katta  songa  nisbati,  masalan,  n  :  (n

1)  shaklda  nisbat  tuziladi.  Bunday 
nisbatlar  haqida  ibn  Sino  shunday    deb    yozadi,    ba`zi    vaqt  bunday    nisbat  «uchdan  bir»,  chorak 
,»un  ikkidan  bir « deb  aytiladi. Ba`zi  vaqt  n ikki nisbat  orqali  xam aytadilar , maslan, oltidan 
birining  yarmi, undan birining  yarmi , beshdan  birining  yarmi  va xokozo.     
«Donishnoma»  asarining  geometriya bulimining VIII  bobida xam  tuzma  nisbatlar bayon 
etilgan  .  Bu  bobnibayon etishda   usha   bobning bazi    natijalari  xam    kullaniladi   bu  bob  kuyidagi 
misol  bilan  boshlanadi    agar  AV  turt,  AS  ikki,  AD    uch  bulsa    u  xolda  AD  ning  AS  ga  nisbati  –
yarimga   oshirilgan   nisbat,  AVning AD  ga  nisbati –uchdan birga  oshirilgan  nisbat,AVning ASga 
nisbati esa  karradi  nisbat buladi. Demak, bunda tuzma nisbat  hosil bo`ladiki,