Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

x
ga  teng,  uning  yuzi
25
2
10
4
2



x
x
yig’indidan  yoki  x
2
+10x+25=39+25=64  dan  iborat,  ya’ni  katta  kvadratning  SE
tomoni
8
64

bo’ladi.  Demak,
8
2
10


x
yoki  x+5=8,  bundan  x=3.  Noma’lum  “x”  ni  yana
bunday 
ifodalash 
mumkin:
39
25
64
2
10




x
. 
Bundan
8
64
39
25
39
4
10
4
2
10
2














x
yoki
3
5
8



x
. 
Bundan
2
10
39
4
10
4
2










x
.

---

78
Agar  bu  formula
c
bx
x


2
tenglamaga  tatbiq  etilsa:
2
4
4
2
b
c
b
x










yoki
2
2
2
b
c
b
x









bo’ladi.
Xorazmiy  x
2
+bx=c  tenglamani  yana  boshqa  bir  shakl  bilan  tushuntiradi:  bunda  AB
kvadrat,  ya’ni  x
2
olinadi,  balandligi  5  ga  teng  ikkita  to’g’ri  to’rtburchak  yasaladi.  Bu  shaklni  CE
kvadratga  to’ldirish  uchun  tomoni
5
2
10

bo’lgan  kvadrat  olinadi.  Katta  CE  kvadratning    yuzi
x
2
+10x+25=39+25=64  bo’ladi.  Katta  kvadrat  SE  ning  tomoni  esa  x+5=8  bo’lib,  bundan  x=3
bo’ladi. (2-shakl)
C
A
X
2
b
5
x
E
Xorazmiy,  kvadrat  tenglamalarni  e’tiborga  olmaydi.  Shuni  qayd  etish  kerakki,  Xorazmiy
asarlarida  son  tushunchasi,  yunon  matematiklariga  qaraganda  ancha  keng  miqyosda  qo’llaniladi,
ya’ni  uning  asarlarida  irrastional  sonlar  tushunchasi  ham  uchraydi,  ammo  u  manfiy  ildizlarni
qaramaydi.
Shunday  qilib  hozirgi  belgilashlarga  asosan
0
2



c
bx
x
shaklida  yoziladigan  kvadrat
tenglamaning ildizlarini topish formulasi:
c
b
b
x










2
2
2
birinchi marta Xorazmiy  asarlarida
uchraydi. Bunda u c>
2
2






b
bo’lgan holda, masalaning echilishi mumkin emas deb yozadi.
5.  “Kvadratlar  va  son  ildizlarga  teng”,  ya’ni
bx
c
ax


2
shaklidagi  kvadrat  tenglamani,
masalan,
x
x
10
21
2


ni echish uchun Xorazmiy shunday yozadi: “agar sen aytsangki, kvadrat va
yigirma bir dirham o’nta ildizlarga teng, u vaqtda buning ma’nosi shuki, agar kvadratga yigirma bir
dirham qo’shilsa, o’nta ildiz hosil bo’ladi”.
So’ngra quyidagi qoidani bayon etadi: “Ildizlar sonini ikkiga bo’l, 5 chiqadi, uni o’z-o’ziga
ko’paytir, 25 bo’ladi, bundan 21 ni ayir, 4 qoladi. Bundan ildiz chiqar, ikki bo’ladi. Buning ildizlar
sonining yarmidan, ya’ni beshdan ayir, 3 qoladi. Mana shu sen izlagan kvadratning ildizi bo’ladi.
Agar bu ildizni ildizlar sonining yarmiga qo’shsang, 7 bo’ladi, bu ham sen izlagan kvadrat
tenglamaning ildizi bo’ladi, kvadratning o’zi esa 49 bo’ladi.
Hozirgi belgilashlarga  asosan bu jumlalar ma’nosini
21
2
10
2
10









x
formula bilan
ifodalash mumkin. “Qachonki, sen shu holda to’g’ri keladigan misol uchratsang, avval uni echishni
qo’shish bilan sinab ko’r va bu ish maqsadga olib kelmasa, u vaqtda ayirish albatta maqsadga olib
keladi,  chunki  bu  holda  ham  qo’shish  ham  ayirishni  tatbiq  etish  mumkin”.  Xorazmiy  qo’shish  va
ayirishni tatbiq etish boshqa hollar uchun, masalan, 4 va 6-shakldagi hollar uchun tatbiq etilmaydi,
deb  yozadi,  chunki  u  vaqtda  manfiy  ildiz  ham  kelib  chiqadiki,  bu  holni  Xorazmiy  mumkin
bo’lmagan hol deb qaraydi.
A             E
B              F             A
C
M
K
H
L
G
K

---

79
G
E
D                    F            B
W          D              H                C
4-shakl                                                  6-shakl.
Xorazmiy, agar tenglamadagi x
2
oldida koefistient bo’lsa, avval tenglamaning hadlarini u
koefistientga bo’lib, so’ngra aytilgan qoida bo’yicha tenglamalarni echish mumkinligini qayd etadi.
Shunday  qilib,  x
2
+s=bx    umumiy  shakldagi  tenglamani  echish  uchun  Xorazmiyning
qoidasini