Mavzu: Matеmatik statistikaning asоsiy masalalari. Bоsh va tanlanma to‘plamlar. Tanlanmani dastlabki qayta ishlash

5. Еmpirik taqsimot funksiya

Quyidagicha

(3)

aniqlangan funksiya empirik (yoki tanlanma) taqsimot funksiyasi deyiladi. Bu yerda I(A) orqali A hodisa indikatori belgilangan. Statistik qator (1) t.m.lardan iborat bo‘lgani uchun, empirik taqsimot funksiya ham har bir tayinlangan x da t.m. bo‘ladi.

Taqsimоtning empirik funksiyasi ta’rifini quyidagicha ham bеrish mumkin:

Taqsimоtning empirik funksiyasi (tanlanmaning taqsimоt funktsiyasi) dеb har bir х qiymat uchun X*(x) funktsiyaga aytiladi:

Bu еrda dan kichik variantalar sоni, – tanlanma hajmi.

Har qanday t.m.ning empirik taqsimot funksiyasi kuzatilgan nuqtalarda shu kuzatilmaning chastotasiga teng va sakrashga ega bo‘lgan pog‘onali, uzlukli funksiyadan iborat bo‘ladi.

Bernulli teoremasiga asosan tajribalar soni n cheksiz o‘sganda hodisaning chastotasi shu hodisaning ehtimolligiga intiladi. Bu esa empirik taqsimot funksiyaning n cheksizlikka intilganda haqiqiy taqsimot funksiya ga istalgancha yaqin bo‘lishini anglatadi.

Empirik taqsimot haqidagi Glivenko teoremasini isboti uchun zarur bo’lgan quyidagi lemmalarni isbotlaymiz.

1-lemma. Agar hodisa cheksiz sondagi hodisalarning birgalikda ro’y berishga ekvivalent bo’lsa, yani hamda ushbu munosabat o’rinli bo’lsa, u holda

.

Isboti. Haqiqatdan ham, hodisani birgalikda bo’lgan hodisalarning yig’indisi shaklida quydagi ikki usulda yozish mumkin:

hamda

Bundan

va

Oxirgi ikki tenglik taqqoslab, tenglikni hosil qilamiz. Biroq tenglikning o’ng tomonidagi yig’indi yaqinlashuvchi qatorning qoldiq hadi bo’lgani sababli

2-lemma. Agar chekli yoki cheksiz ketma-ketlikdagi hodisalarning har biri birga teng ehtimol bilan ro’y bersa, u holda ularning birgalikda ro’y berishi ehtimoli ham birga teng.

Isboti. Avvalo ikkita va hodisani qaraymiz, ular uchin bo’lsin,

Ammo

va

Bo’lgani sababli

Bundan, matematik induksiya metodiga asoslanib,

munosabatni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy n ta hodisa uchun

Tenglik bajarilishini ko’rsatish mumkin.

Aytaylik , hodisalar berilgan bo’lsin hamda ular uchun

bolisin. Biroq

Tenglik ravshan hamda tenglikning o’ng tomonidagi har bir ko’paytuvchilarning avvalgisi keyngisini o’z ichiga oladi, u holda 1-lemmaga ko’ra

Bu tenglik 2-lemmani isbotlaydi.

V.I.Glivenko teoremasi. tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyani bo’lsin, tasodifiy miqdor ustida o’tkazilgan ta o’zaro bog’liq bo’lmagan kuzatishlar natijalarning empirik taqsimot funksiyasi bo’lsin,u holda da