2)
3)
4) – ?
5)
4. Hosilaning geometrik va mexanik ma‘nosi.
Bizga berilgan u=f(x) funksiya x nuqta va uning atrofida aniqlangan bo’lsin. Argument x ning biror qiymatida u=f(x) funksiya aniq qiymatga ega bo’ladi, biz uni M0(x, u) deb belgilaylik. Argumentga Dx orttirma beramiz va natija funksiyaning u+Du=f(x+Dx) orttirilgan qiymati to’g’ri keladi. Bu nuqtani M1(x+Dx, u+Du) deb belgilaymiz va M0 kesuvchi o’tkazib uning OX o’qining musbat yo’nalishi bilan tashkil etgan burchagini j bilan belgilaymiz.
Endi nisbatni qaraymiz. Rasmdan ko’rinadiki, (1) ga teng.
Agar Dx®0 ga, u holda M1 nuqta egri chiziq bo’yicha harakatlanib, M0 nuqtaga yaqinlasha boradi. M0M1 kesuvchi ham Dx®0 da o’z holatini o’zgartira boradi, xususan j burchak ham o’zgaradi va natijada j burchak a burchakka intiladi. M0M1 kesuvchi esa M0 nuqtadan o’tuvchi urinma holatiga intiladi. Urinmaning burchak koeffitsienti quyidagicha topiladi
(2)
Demak, , ya’ni, argument x ning berilgan qiymatida hosilaning qiymati f(x) funksiyaning grafigiga uning M0(x, u) nuqtasidagi urinmaning OX o’qining musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchak tangensiga teng.
Hosilani tengsizliklarni isbotlashga tatbiqi
Ta’rif: funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsin. Agar ixtiyoriy tengsizliklarni qanoatlantiradigan nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa u,holdafunksiyaoraliqda o’suvchi kamayuvchi funksiya deyiladi, oraliq esa monotonlik oralig’i deb yuritiladi.
Ta’rif: funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsin. Agar ixtiyoriy tengsizliklarni qanoatlantiradigan nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa u,holdafunksiyaoraliqda qat’iy o’suvchi kamayuvchi funksiya deyiladi.
Teorema: funksiya oraliqda aniqlangan va defferensiallanuvchi bo’lsin. funksiya intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishi uchun shu intervalda tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.
1-masala. sonlarni taqqoslang?
Yechilishi f:funksiyani qaraymiz.Uning hosilasi barchalardamanfiy qiymatni qabul qiladi va f funksiya
Da uzluksiz shunday qilib f da kamayadi. Bu yerdaekanligini hisobga olibniolamiz.
Demak, .
2-masala.tengsizlikni isbotlang.
Yechilishi: Ikkala qismining juftligidanholni qarash yetarli.Bundan tashqariholni o’rganish yetarli.Shu maqsaddafunksiyani qaraylik. F funksiyani hosilasi.
Cosinusning chegaralanganligidan deb hisoblaymiz. Bu yerdan f funksiya o’zining aniqlanish sohasida monoton o’suvchi bo’lishi kelib chiqadi va shuning uchuntengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu yerdan esa berilgan tengsizlik kelib chiqadi.
3-masala.Agar bo’lsa uholdatengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
Yechilishi. ko’rinishdagifunksiyani qaraymiz, bu yerda a,b,c lar a>b>c tengsizliklarni qanoatlantiradigan haqiqiy parametrlar. f funksiyaningda qat’iy o’suvchi bo’lishini avvalgi masalalardagidek isbotlanadi va shunday qilibtengsizliko’rinli. Ohirgi tengsizlik berilgan tengsizlikka teng kuchli.
4masala. (Bernulli tengsizligi) Ixtiyoriyuchuntengsizlik o’rinli shu bilan birga tenglik o’rinli faqat x=0.
Yechilishi.funksiyani qaraymiz,bu yerda a-fiksirlangan1dan katta son. Bu funksiya hosilasini hisoblaymiz.
shartdan uchunva ekanligi kelib chiqadi .Demakfunksiyada kamayadi va da o`sadi. Bundan barcha lar uchuntengsizlik o’rinli, ya’niva
Deb hulosa chiqaramiz. tenglik x=0 deb eslatib o’tish qolyapti.
Izoh.,
.
Tengsizliklar shunga o’xshash isbotlanadi
Do'stlaringiz bilan baham: |