Mavzu: Mapleda differensial tenglamalarni yechish funksiyalari. Nazariy qism

L2 := x DF - x² + b

> L3 := DFA2 - x;

L3 := DF² - x

Biz bu operatorlari ko'paytirib shuni eslatib o'tishimiz mumkinki, ularni o'rnini almashtirib bo'lmaydi:

• 
  L4 := collect( mult( L1, L2, [DF, x] ), DF );
  

L4 := x³ DF³ + ( -x⁴ + x² + x² b) DF² + ( ax - x b - x - 4 x³) DF - ax² + x⁴ - x² b + a b

• 
  L5 := collect( mult( L2, L1, [DF, x] ), DF );
  

L5 : =

x³ DF + ( -x⁴ + x² + x² b ) DF² + ( -x b - x + ax) DF + a b + x⁴ - 2 x² - ax² - x² b

Argument [DF, x] mult komandasiga ko'paytirish DF va x belgilab bergan differensial sohasi ustida ekanligini ko'rsatadi, shuning uchun a va b o'zgaruvchilari o'zgarmas songa teng. Bu yana _Envdiffopdomain := [DF, x], muhit o'zrgaruvchisi orqali belgilanishi mumkin.

Bir tomonli eng kichik umumiy ko'paytuvchi va eng katta umumiy bo'luvchi tushunchasi shunday sohalarda mavjud bo'ladi. Misol tariqasida,

• 
  L6 := LCLM( L3, L2, [DF, x] );
  

(-b³ - x³ - 2 b - 3 x⁴ b + 3 x² b² + 3 x⁴ - 3 b² + x³ b + x⁶ - x⁵) DF²
x ( b + b² + x² - 2 x² b - x³ + x⁴ )



L6 := DF³

-b³ +

x DF
3 b - 3 x⁴ b + 3 x² b² + 2 x⁴ - 4 b² + x³ b + x⁶ - x⁵ - x² + 2 x² b b + b² + x² - 2 x² b - x³ + x⁴

va

> L7 := GCRD( L4, L6, [DF, x] );

L7 := DF -
x² - b
x

Buni o'ng yoki chap tomonni ko'paytirishi orqali tekshirish mumkin. Bizning

masalamizda biz quyidagiga egamiz:

> rightdivision(L6,L7, [DF,x] );

" . (-x³ - 2 b + 2 x⁴ - 2 b²) DF

DF —

_ x ( b + b² + x² - 2 x² b - x³ + x⁴ )



0
2 x³ + 4 xb - 6 b - x⁴ - 2 x² + xb² - 2 x³ b + x⁵
b + b² + x² - 2 x² b - x³ + x⁴

> rightdivision(L4,L7, [DF,x] );

[ x³ DF² + x² DF - x³ + ax - x, 0]

Ikki holatda ham yuqoridagi amal 0 qoldiqli bo'linmani beradi. Hisobni to'g'riligi quyidagi ko'paytirish orqali tekshirish mumkin:

> collect( L4 - mult( %[1], L7, [DF,x] ), DF, normal );

Differensial tenglamalarning umumiy yechimi.

Maple da differensial tenglamalarning analitik yechimlarini topish uchun quyidagi komanda ishlitiladi:

dsolve(eq,var,options),

bu yerda eq - differensial tenglama, var - noaniq funkslar, options - parametrlar. Parametrlar masalaning yechilish metodini ko’rsatishi mumkin, masalan, jimlik qoidasi bo’yicha analitik yechim quyidagicha izlanadi: type=exact. Differensial tenglamani kiritishda hosilani bildirish uchun diff komanda ishlatiladi, masalan, y''+y=x differensial tenglama quyidagi ko’rinishda yoziladi: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Differensial tenglamalarning umumiy yechimi soni differensial tenglamaning tartibiga bog’liq bo’lgan ixriyoriy o’zgar-maslarga bog’liqdir. Maple da bunday o’zgarmaslar qoida bo’yicha _S1, _S2, va h.k.lar bilan belgilanadi.

Bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi hamma vaqt shunday chiqariladiki, ushbu yechimning strukturasi aniq ko’rinadi. Shu bilan birga bir jinsli bo’lma-gan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi unga mos keluvchi bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechim-lari yig’indisiga hamda berilgan bir jinsli bo’lmagan diffe-rensial tenglamaning xususiy yechimiga teng. Shuning uchun ham bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamaning yechi-mini chiqarish satri hamma vaqt ixtiyoriy o’zgarmaslarni o’z ichi-ga olgan qo’shiluvchilardan iborat (bu mos keluvchi differensial tenglamaning umumiy yechimi) va ixtiyoriy o’zgarmaslarsiz bo’lgan yig’indidan iborat (bu bir turli bo’lmagan differensial teng-lamaning xususiy yechimi) bo’lishi mumkin.

dsolve komanda differensial tenglamaning yechimini hi-soblanmaydigan shaklda beradi. Hosil bo’lgan yechim ustidan ke-yinchalik ishlash uchun (masalan, yechim grafigini yasash) hosil bo’lgan yechimning o’ng tomonini rhs(%)komanda bilan ajratish kerak.

y'+ycosx=sinxcosx differensial tenglamaning umumiy yechimini topish.

• 
  restart;
  
• 
  de:=diff(y(x),x)+y(x)*cos(x)=sin(x)*cos(x);
  

de: = | — y(x) | + y(x)cos(x) = sin(x)cos(x)

iSx )

> dsolve(de,y(x));

y(x) = sin(x) -1 + e^{( sin(x))}_C 1

Demak, izlanayotgan tenglamaning yechim funksiyasi y(x) = sin(x) - 1 + e^{( sin(x))}_ C 1. Eslatma: Maple da differensial tenglamaning yechimini chiqarish satrida ixtiyoriy konstanta _S1 kabi belgilanadi.

y"-2y'+y=sinx+e~^x ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

• 
  restart;
  
• 
  deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x)
  

=sin(x)+exp(-x);


deq:
Ml ^ ( Pj Л

^ y(x) -1|— y(x)|+ y(x) = sin(x) + e^(-x)

_ydx ) V«^x )

> dsolve(deq,y(x));

y( x) = _ C1e^x + _ C2e^xx + 1cos(x) +1 e^(-x)

Eslatma: berilgan tenglama ikkinchi tartibli bo’lganligi sa-babli olingan natijada ikkita ixtiyoriy konstantalar mavjud, ular Maple da _S1 i _S2 kabi balgilanadi.

Yechimda birinchi ikkita qo’shiluvchilar berilgan bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi, qolgan ikkitasi esa bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning xususiy yechimidir.

y"+k²y=sin(qx) tartibda berilgan differensial tenglamaning q±k va q=k (rezonans) ikki holda umumiy yechimini topish.

de:=

^d ( л

₂y( ^x)

dx ²

+ к ²y( x) = sin( qx)
> restart; de:=diff(y(x),x$2)+k^A2*y(x)=sin(q*x);

> dsolve(deq,y(x));

1. 
   cos((k + q)x) 1 cos((k - q)x) .
   
2. 
   
   У( x) =
   к + q 2 к - q
   

1. 
   sin((k - q)x)
   
2. 
   к - q
   

1. 
   sin^ + q) x)
   
2. 
   к + q к
   

cos (к») +

C1 sin^x) +

C2 cos(кx)
к

Endi yechimni rezonans holatda izlaymiz. Buning uchun esa dsolve komandani chaqirishdan oldin q=k deb olish kerak.

2

1 cos^x) sin(kx)

^x =^-2 к² C1 sin(kx) + _ C2 cos(kx)

- ^cos^^m^x) +1 kx \cos(kx)

к

2

+
> q:=k: dsolve(de,y(x));

Eslatma: bu ikki holda ham bir jinsli bo’lmagan differen-sial tenglamaning ixtiyoriy o’zgarmaslarni o’z ichiga olgan xususiy hamda umumiy yechimlar alohida qo’shiluvchilar ko’rinishida chiqa-riladi.

Yechimning fundamental (bazisli) sistema ko’rimshi.

dsolve komanda differensial tenglama yechimining fundamen-tal sistemali (bazisli funksiyalar) ko’rinishini topish imkonini beradi. Buning uchun dsolve komandaning parametrlarida output=basis ni ko’rsatish kerak.

Quyidagi berilgan differensial tenglamaning fundamental sistema yechimini toping: y⁽⁴⁾+2y"+y=0.

> de:=diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x)=0;

de: =

^{Л (} д² + 2

-^y( x)

dx ²

+ y( x) = 0
> dsolve(de, y(x), output=basis);

[cos(x), sin( x), x cos(x), x sin( x)]

Koshi masalasi yoki chegaraviy masalaning yechilishi. dsolve komanda Koshi masalasi yoki chegaraviy masalaning yechimini topishi mumkin, agarda berilgan differensial tenglama uchun noaniq funksiyaning boshlang’ich hamda chegaraviy shartlari berilsa. Boshlang’ich yoki chegaraviy shartlarda hosilalarni belgi-lash uchun differensial operator D ishlatiladi, masalan, y''(0)=2 shartni (D@@2)(y)(0) = 2 kabi berishga to’g’ri keladi yoki y'(1)=0 shart-ni: D(y)(i) = 0. Eslatib o’tamiz, n-chi tartibli hosila (D@@n)(y) kabi yoziladi.

Koshi masalasining yechimini topish: y⁽⁴⁾+y"=2cosv, y(0)=-2, y'(0)=1, y"(0)=0, y^m(0)=0.

de :=

⁽ д⁴ / \

дй *^x)

+

д _f ч -^y^{( x)}

дт²

= 2cos(x)

• 
  cond:=y(0)=-2, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=0,
  

(D@@3)(y)(0)=0;

cond:=y(0)=-2, D(y)(0)=1, (D⁽²⁾)(y)(0)=0, (D⁽³⁾)(y)(0)=0

• 
  dsolve({de,cond},y(x));
  

y(v)=-2cos(.x)-.xsin(.x)+.x

Quyidagi chegaraviy masalaning yechimini topamiz: y"+y = 2x -n , y(0) = о , y\ⁿ 1 = о. Yechim grafigini yasang.

> restart; de:=diff(y(x),x$2)+y(x)=2*x-Pi;

de:

f д² л

-^y^{( x)}

дх² \^дл

+ y( x) = 2x -n

> cond:=y(0)=0,y(Pi/2)=0;

( n

cond := y(0) = 0, y\ — | = 0

> dsolve({de,cond},y(x));

y(.x)=2.x-n+ncos(.x)
> de:=diff(y(x),x$4)+diff(y(x),x$2)=2*cos(x);

Berilgan topshiriqning bajarilish qismi

1. 
   misol: Quyidagi differensial tenglamaning umumiy yechimini toping:
   

y⁽⁴⁾+2y^m-2y"=2cosx

Yechish:

>with(DETools):

DifTeng:=diff(y(x),x$4)+3*diff(y(x),x$3)-













2 cos(x)

>dsolve(DifTeng,y(x));

y^{( x)} =

2

- + -

2

3 V17 2 2

3 у 17 2 2

+ - cos( x)

1

3

sin( x ) + C3 x + C4
2*diff(y(x),x$2)=2*cos(x);

d^4 , '		d^3 '		f d^2
^^y( x ) j	+ 3	d?^y( x),	- 2	v dx^2

DifTeng :=


;y( ^x )


(-3/2 x + 1/2 x-(rf) ^ (-3/2 x - 1/2 x/l7)

C2 e C1 e 1

2. 
   misol: Quyidagi Koshi masalasini yechimini aniqlang:
   

y⁽⁴⁾+2yy'"-2y"=2cosx, y(0)=-2, y’(0)=1, y"(0)=0, y^m(0)=0.

Yechish:

> Order:=5;

Order := 5

>

dsolve({diff(y(x),x)=y(x)+x*exp(y(x)),y(0)=0},y(x),type=s

eries);

y( x ) = - x² + - x³ + - x⁴ + O( x⁵)

3. 
   misol: Quyidagi Koshi masalasini sonli yechimining grafigini [-2; 3] oraliqda DEplot komandasidan foydalanib chizing:
   

>with(DETools):

>DifTeng:=diff(y(x),x$3)+3*x*diff(y(x),x$2)- diff(y(x),x)+5*x=0;

DifTeng:

(dd _t Л . f d² Л

з y^{( x )} + ^{3 x} 2 y^{( x )}

l dx ) l dx )

dx^{y( x)}

+ 5 x = 0
/W- У+5*=0, у(0)=1, у'(0)=-4, у" (0)=2.



>Bosh_shart:=[[y(0)=1,D(y)(0)=-4,D[1$2](y)(0)=2]];

Bosh_shart:= [[y(0) = 1, D(y)(0) = -4, (D⁽²⁾)(y)(0) = 2]]


>DEplot( DifTeng, y(x), x=-2..3, Bosh shart );

2-misol.