Mavzu: L2 fazo ta’rifi va asosiy xossalari fazoda yaqinlashish turlari. Reja

Mavzu:L₂ fazo ta’rifi va asosiy xossalari. fazoda yaqinlashish turlari.

Reja:

1. 
   fazoning ta’rifi.
   
2. 
   fazoning asosiy xossalari.
   
3. 
   fazoda yaqinlashish turlari va ular orasidagi munosabatlar.
   

Aytaylik X o‘lchovli to‘plam va  undagi o‘lchov va (X)< bo‘lsin. Funksiya berilgan deganda, X da aniqlangan o‘lchovli funksiyalarni tushunamiz.

1-ta’rif. Agar X da berilgan f(x) funksiya uchun

< 

bo‘lsa, u holda f(x) funksiya kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya deyiladi.

Kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar to‘plamini (sinfini) L₂(X, ) orqali belgilaymiz.

1-teorema. L₂(X, ) to‘plam chiziqli fazo bo‘ladi.

Isboti. Aytaylik f(x), g(x)  L₂(X, ) bo‘lsin. U holda

(f(x) + g(x))²  2(f²(x)+g²(x))

tengsizlikdan

(f(x) + g(x))²  2( + ) < 

kelib chiqadi, ya’ni f(x)+g(x)  L₂(X, ).

Xuddi shuningdek, ixtiyoriy  son uchun

=² < 

munosabatdan f(x)  L₂(X, ) kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.

Endi, L₂(X,) da masofa tushunchasini aniqlaymiz.

Dastlab, kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar integraliga aloqador va kelgusi xulosalarda ishlatiladigan, ba’zi tengsizliklarni ko‘rib chiqamiz.

2-teorema. Ixtiyoriy f(x), g(x)  L₂(X, ) funksiyalar uchun Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladigan

 (3)

tengsizlik va

 + (4)

tengsizlik o‘rinli.

Isboti. Ixtiyoriy  soni uchun bo‘lishi ravshan. Bundan +2 +² 0 kelib chiqadi. Ma’lumki,  ga nisbatan a²+2b+c kvadrat uchhad qiymatlari musbat bo‘lishi uchun uning diskriminanti manfiy bo‘lishi kerak: D=4b² – 4ac  0. Demak, b²  ac. Yuqoridagi tengsizlikda =s, =b, =a ekanini e’tiborga olsak (3) tengsizlik hosil bo‘ladi.

Endi, (4) tengsizlikni isbotlash qiyinchilik tuQdirmaydi:

= +2 + 

 +2 + =

= .

Teorema isbot bo‘ldi.

Agar (3) tengsizlikda g(x)  1 deb olsak

 (X) (5)

munosabatga ega bo‘lamiz.