Mavzu: L2 fazo ta’rifi va asosiy xossalari fazoda yaqinlashish turlari. Reja

4-teorema. L₂ fazo to‘la metrik fazo bo‘ladi.

Isboti. Aytaylik L₂ fazoda {f_n(x)} fundamental ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Ya’ni {f_n(x)} ketma-ketlik uchun n,m da

 0

bo‘lsin. U holda (5) tengsizlikka asosan

  0

munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, berilgan {f_n(x)} ketma-ketlik L₁ fazoda ham fundamental bo‘lar ekan.

Xuddi L₁ fazoning to‘laligini isbotlaganimizdagi kabi mulohazalar yuritib, {f_n(x)} ketma-ketlikdan qism ketma-ketlik ajratib olamiz va u biror f(x) funksiyaga deyarli yaqinlashadi.

Endi, bu qism ketma-ketlikning yetarlicha katta k va l hadlari uchun o‘rinli bo‘lgan

< 

tengsizlikda, 3-teoremadan foydalanib l   limitga o‘tamiz.

Natijada,

 

munosabat hosil qilinadi. Bundan f(x)L₂ va  f kelib chiqadi.

Metrik fazoda fundamental ketma-ketlik, biror limitga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikka ega bo‘lsa, u holda ketma-ketlikning o‘zi ham shu limitga yaqinlashadi.

Demak, L₂ fazodagi ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik L₂ da yaqinlashuvchi ekan. Teorema isbot bo‘ldi.

X to’plamni segmentga teng deb olamiz. sinfdan olingan har bir funksiya uchun

son funksiyaning normasi deyiladi va bu norma bilan belgilanadi. Har bir funksiya uchun kiritilgan son quyidagi xossalarga ega:

1. 
   bo’lib, bo’lgandagina
   
2. 
   .
   
3. 
   + (uchburchak tengsizligi).
   

1. 
   va 2-munosabatlar normaning ta’rifidan bevosita ko’rinadi, 3-tengsizlik Koshi tengsizligidan kelib chiqadi.
   

Normadan foydalanib, faoda Evklid fazosi uchun o’rinli bo’lgan ko’pgina teoremalarni isbot etish mumkin. Tegishli xossalar quyida keltiriladi. fazoning ko’pgina xossalari n o’lchamli Evklid fazosiningxossalariga juda yaqin. sinfni birinchi marta nemis matematigi D. Gilbert chuqur o’rgana boshlagan va bu fazoga chekli o’lchamli Evklid fazosi nuqtai nazaridan qaragan; shu sababli sinfni Gilbert fazosi deb ham ataydilar. Bu fazoda ikki f va g funksiya (ko’pincha ning elementlarini uning nuqtalari ham deyiladi) orasidagi masofa tushunchasi kiritiladi. Masofa sifatida ular ayirmasining normasi qabul qilinadi, ya’ni

.

Bu masofani odatda to’g’ri chiziq, tekislik va Evklid fazolaridagi masofa tushunchalarining umumlashgani deb ham qarash mumkin.

Albatta, ikki ekvivalent funksiya bu fazoda birgina nuqta sifatida qabul qilinadi.

Masofa yordamida Gilbert fazosi nuqtalari ketma-ketligi uchun yaqinlashish tushunchasini kiritish mumkin.

2-ta’rif. Agar f, f_{n 2} n=1, 2, 3, . . . uchun n da bo’lsa, u holda f nuqta ketma-ketlikning limiti deyiladi va

ko’rinishda yoziladi.

Bu ma’noda yaqinlashishni o’rta ma’noda yaqinlashish deyiladi.

Normaning ta’rifiga muvofiq, (1) munosabatni yana quyidagicha yozishimiz ham mumkin:

Agar segmentda funksiyalar ketma-ketligi funksiyaga tekis yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlik shu funksiyaga o’rta ma’noda ham yaqinlashadi.

Haqiqatdan, funksiyalar ketma-ketliining ga tekis yaqinlashishidan har qanday son hamda barcha yetarlicha katta n natural sonlar uchun

munosabat barcha uchun bajariladi. Bundan

tengsizlik o’rinli bo’lib, funksiyalar ketma-ketligining funksiyaga o’rta ma’noda yaqinlashishi kelib chiqadi.

Agar funksiyalar ketma-ketligi yarli yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlik shu funksiyaga o’rta ma’noda yaqinlashmasligi mumkin. Masalan,

funksiya barcha da n da . Lekin

O’rta ma’noda yaqinlashishga oid bir necha teoremalarni isbot qilamiz.