Mavzu: Kroneker-Kopelli teoremasi va uning isboti

Mavzu:Kroneker-Kopelli teoremasi va uning isboti.
𝒏 ta 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, . . . , 𝒙𝒏 noma’lumlarga nisbatan 𝒎 ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lishi (yechimga ega bo’lishi) uchun 𝑨 asosiy matritsa va 𝑩 kengaytirilgan matritsalarning ranglari bir-biriga teng, ya`ni 𝒓𝒂𝒏𝒈𝑨 = 𝒓𝒂𝒏𝒈𝑩 = 𝒓 bo’lishi zarur va yetarli. So’ngra, agar 𝒓𝒂𝒏𝒈𝑨 = 𝒓𝒂𝒏𝒈𝑩 va 𝒓 = 𝒏 bo’lsa, u holda (1) sistema yagona yechimga ega; agar 𝒓 < 𝒏 bo’lsa, u holda (1) sistema cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi va bu yechimlar (𝒏 − 𝒓) ta ixtiyoriy o’zgarmaslarga bog’liq bo’ladi.

Agar barcha ozod hadlar 𝑏𝑖 = 0(𝑖 = 1, 𝑚) bo’lsa, ChATS bir jinsli ChATS deyiladi:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+. . . +𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0,
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+. . . +𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+. . . +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0.
BJChATS
Agar 𝑏𝑖 (𝑖 = 1, 𝑚) sonlardan atigi bittasi noldan farqli bo’lsa ham sistema bir jinsli
bo’lmagan ChATS bo’ladi. Bir jinsli sistemada har doim 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐵
bo’lganligi uchun u hamisha yechimga ega bo’ladi.









Teorema: (Kroneker – Kapelli teoremasi)
Chiziqli tenglamalr sistemasini kengaytirilgan matrisasi bilan asosiy matrisasining ranglari bo’lganda va faqat shu holdagina birgalikda bo’ladi.


Isbot. Birgalikda bo’lib, (1) ning qandaydir yechimlari bo’lsin.

U holda (1) ning ozod hadlaridan tuzilgan vektor matrisaning ustunlaridan tuzilgan har bir

ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining

chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak

 va vektorlar sistemalarining ranglari teng, ya’ni .

Endi faraz qilaylik bo’lsin. U holda lemmaga asosan martisaning oxirgi ustunidagi tuzilgan vektor, uning qolgan ustunlaridan tuzilgan, ya’ni matrisaning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi, ya’ni

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu o’z navbatida

ayniy tengliklar sistemasiga tengkuchlidir va demak lar (2) sistemaning yechimi bo’lib, bu tenglamalar sistemasi birgalikda.

Biz teoremadan quyidagi natijalarni olamiz:
Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda aniq bo’ladi.


Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmaydi.

Bu teorema va natijalarni amalda tatbiq qilishda eng avvalam bor matrisani rangini hisoblash va agarda bo’lib, bu rangni aniqlovchi noldan farqli tartibi ga teng minor bo’lsa, so’ngra matrisaning ni xoshiyalovchi chiziq da bo’lmagan xarakteristik minorlari (determinanti) deb ataluvchi barcha minorlarini hisoblash kerak.
Agar ularning barchasi nolga teng bulsa, u xolda va shu sababli (1) sistemani birgalikda buladi, aks xolda u birgalikda bulmaydi.
Tenglamalar sistemasini birgalikda bulishligi xakida teorema nuktai nazaridan takomillashgan teoremalardan xisoblanadi, lekin yechimda sistemalarning yechimlarini topish uchun xej kanday usul bermaydi. Shuning uchun biz bu masalani yechish bilan shugulanamiz.
Endi bu o’tgan ma’ruazalardagi ma’lumotlarni eslaymiz:
Chiziqli tenglamalar sistemasining elementar almashtirishlari deb nimaga aytiladi?
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning qanday usullarini bilasizlar?
Matrisaning rangi deb nimaga aytiladi?
Matrisaning rangi haqidagi teorema qanday ifodalanadi?
Matrisaning rangi qanday yo’llar bilan topiladi?
A va B matrisalarning ranglari haqida nima deyish mumkin, ya’ni ular tengmi yoki qaysi birining rangi katta?
Qanday o’ylasizlar, A va B matrisalarning ranglari bilan (1) sistemaning birgalikda bo’lishi orasida bog’lanish bormi yoki yo’qmi?
Oxirgi savolga javobni quyidagi Kroneker –Kapelli teoremasi beradi:

TEOREMA (KRONEKER – KAPELLI). Chiziqli tenglamalar sistemasi hamjoyli bo’lishi uchun uning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglari teng bo’lishi zarur va yetarli.

Bu teoremaning isboti bevosita (**) teoremadan kelib chiqadi.
NATIJA. Agar chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy matritsasining rangi sistema tenglamalarining soniga teng bo’lsa, u holda tenglamalar sistemasi hamjoyli.
ISBOTI. A va B matritsalar n ta noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasining mos ravishda asosiy va kengaytirilgan matritsalari bo’lsin. U holda ρ(B)≥ρ(A)=m. Ikkinchi tomondan, ρ(B)≤ m, chunki B matritsa m ta satrdan iborat. Shuning uchun, ρ(B)=ρ(A). Kroneker – Kapelli teoremasiga ko’ra, qaralayotgan chiziqli tenglamalar sistemasi hamjoyli.
Misollar.
1. Tenglamalar sistemasini tekshiring.

Yechish. Sistemaning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglarini topamiz.


Demak, asosiy matritsaning rangi r(A) = 2, kengaytirilgan matritsaning rangi r(B) = 3 ga teng: r(A) ≠ r(B), berilgan chiziqli tenglamalar sistemasi hamjoysiz.
2. Tenglamalar sistemasini tekshiring.

Yechish. Sistemaning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglarini topamiz.


Demak, r(A) = r(B)= 2 , berilgan sistema hamjoyli.


Berilgan sistemaning yechimlar to’plami

dan iborat