Mavzu: Kordinata burchagi. Nuqta Kordinatasi Reja

Mavzu: Kordinata burchagi. Nuqta Kordinatasi


Reja:

1. 
   Dekart koordinatalari.
   
2. 
   Kordinata burchagi
   
3. 
   Nukta kordinatasi.
   

Nukta xarakatini koordinata usulida ifodalash uchun uning berilgan koordinata sistemasidagi koordinatalari vaktning funksiyasi sifatida berilgan bulishi kerak. Bu funksiyalar nuktaning xarakat konunlari deyiladi. Ulardan foydalanib moddaning xarakat trayektoriyasi, tezlik va tezlanish vektorlari aniklanadi. Xarakatlanuvchi moddaning tezlik va tezlanish vektorlarini ixtyoriy koordinatalar sistemasining uklaridagi proyeksiyalari orkali ifodalash mumkin. Ammo amalda kuprok dekart, silindrik va sferik koordinatalar sistemasidan foydalaniladi.

Dekart koordinatalar sistemasida moddaning fazodagi xolati ung x,y,z dekart koordinatalari orkali aniklanadi. Agar koordinatalari vaktga boglanib, uzgarish konunlari x=x(t), z=z(t) (1) maolum bulsa, (1) ning xarakat trayektoriyasi, tezlik va tezlanish vektorlarini aniklash mumkin. (1) tenglamalar (1) ning dekart koeffisiyent sistemasidagi xarakat konunlari deyiladi.(1) dan t vaktni chikarib, (1) ning trayektoriyasi parametri tenglamalari xam deb yuritiladi. Koordinatalar orkali ifodalangan radius vektorini (1) ni eotiborga olgan xolda vakt buyicha differensiallab, M(t) ning tezlik va tezlanish vektorlari topiladi:
;
Tezlik va tezlanish vektorlarining uklardagi proyeksiyalarini
(3)
son kiymatlarini
(3a)
kurinishda yozish mumkin v va w vektorlari yunalishlari esa
(3b)
yunaltiruvchi sos lar bilan aniklanadi.
Vektorial uchun radius vektori va tezlik va tezlanish (2) dan foydalanibkuyidagicha yozamiz:
ni (4a)
(4) dan (4a)
Nukta xarakatining tabiiy va koordinata usullarida berilishlari orasidagi boglanishni topish oson. Xakikatan xam, dS trayektoriya yoki elementning uzunligi
(5)
ga teng, bundan (t=0 da S=S0)

topiladi. Bu formuladagi musbat ishora xarakat masofaning ortishi yunalishida yuz bergan xolda manfiy ishora esa aksincha xolda olinadi.

2. Silindrik va kutb koordinatalar usuli.

Silindrik koordinatalar sistemasida M(1) ning xolati r,f,r koordinatalar bilan aniklanadi. Uning xarakat konunlari r=r(t), f=f(t), r=r(t) kurinishda yoziladi. Chizmadan foydalanib kuyidagi boglanishlarni yozishimiz mumkin:
x=rsosf, u=sinf, z=z (a)
(2)
(b)
Silindrik koordinatalar sistemasidagi ortlari bilan dekart ortlari orasidagi boglanishlarni topish uchun xar ikkala sistemasidagi ifodalarini uzaro tenglashtiramiz va (2a) ni eotiborga olamiz. Natijada

(3) boglanishni topiladi. Silindrik sistemaning ortlarning yunalishi vaktga boglik xolda uzgaradi, ularning vakti buyicha birinchi xosilalari
(3a)
(1) ng radial vektordan vakt buyicha xosila olib, (3a) ni eotiborga olsak, tezlik vektori uning moduli va proyeksiyalari uchun
(4)
(4a) ifodalar topiladi. vr, vj, vz mos xolda tezlik vektorining radial, kundalang va okuial proyeksiyalari deb yuritiladi. Tezlik vektoridan vakt buyicha xosila olib (4a) dan foydalansak va uning proyeksiyalari uchun



(5)
z=0 r=z (5a) kelib chikadi. Agar r=0, r=r desak, silindrik koordinatalar sistemasi tekislikdagi kutb koordinatalar sistemasiga utadi. (Kuyidagi rasm)
(6)
bunda xarakat konuni r=r(t), j=j(t),tenglamalar bilan beriladi. Ulardan t vaktni chikarib kutb koordinatalar sistemasidagi r=r(j) trayektoriya tenglamasi topiladi. Tekislikda xarakatlanuvchi M nuktaning kutb koordinatalardagi r radial vektori, v chizikli va s sektorial tezliklarni xamda w tezlanish uchun (r=0, r=r', er=er)
(7)
formulaga ega bulamiz.

Tayanch iboralar:

Moddiy nukta. Parametrik tenglama Koordinata metodlari.Tyezlik vektori.
Koordinatalar.Tyezlanish vektori. Dekart koordinatalar.
sosiy maqola: Raqam chizig'i
Koordinata tizimining eng oddiy misoli bu chiziq yordamida nuqtalarni aniq sonlar yordamida . Ushbu tizimda o'zboshimchalik bilan nuqta O (the kelib chiqishi) berilgan satrda tanlanadi. Nuqtaning koordinatasi P dan imzolangan masofa sifatida aniqlanadi O ga P, bu erda imzolangan masofa - chiziqning qaysi tomoniga qarab ijobiy yoki salbiy sifatida olingan masofa P yolg'on. Har bir nuqtaga noyob koordinata beriladi va har bir haqiqiy son noyob nuqtaning koordinatasidir.^[4]

Dekart koordinatalar tizimi
Asosiy maqola: Dekart koordinatalar tizimi

The Dekart koordinatalar tizimi samolyotda.
Koordinata tizimining prototipik misoli Dekart koordinatalar tizimi. In samolyot, ikkitasi perpendikulyar chiziqlar tanlanadi va nuqta koordinatalari chiziqlarga imzolangan masofalar sifatida qabul qilinadi.

Uch o'lchovda, uchta o'zaro ortogonal tekisliklar tanlanadi va nuqtaning uchta koordinatalari tekisliklarning har biriga imzolangan masofalardir.^[5] Buni yaratish uchun umumlashtirish mumkin n har qanday nuqta uchun koordinatalar n- o'lchovli Evklid fazosi.
Koordinata o'qlarining yo'nalishi va tartibiga qarab uch o'lchovli tizim a bo'lishi mumkin o'ng qo'l yoki chap qo'l tizim. Bu ko'plab koordinatali tizimlardan biridir.
Polar koordinatalar tizimi
Samolyot uchun yana bir keng tarqalgan koordinata tizimi bu qutb koordinatalar tizimiBir nuqta sifatida tanlanadi qutb va shu nuqtadan olingan nur sifatida qabul qilinadi qutb o'qi. Berilgan angle burchak uchun qutb o'qi bilan burchagi θ bo'lgan (o'qdan chiziqqa soat sohasi farqli ravishda o'lchangan) qutb orqali bitta chiziq mavjud. Keyin ushbu chiziqda noyob nuqtasi bor, uning kelib chiqish joyidan imzolangan masofasi r berilgan raqam uchun r. Berilgan koordinatalar juftligi uchun (r, θ) bitta nuqta bor, lekin har qanday nuqta ko'plab juft koordinatalar bilan ifodalanadi. Masalan, (r, θ), (r, θ + 2π) va (-r, θ + π) - barchasi bir xil nuqta uchun qutb koordinatalari. Qutb har qanday θ qiymati uchun (0, θ) bilan ifodalanadi.


Tekislikdagi nuqta ichida ifodalanishi mumkin bir hil koordinatalar uch baravar (x, y, z) qayerda x/z va y/z nuqtaning dekart koordinatalari.^[9] Bu "qo'shimcha" koordinatani taqdim etadi, chunki tekislikdagi nuqtani ko'rsatish uchun faqat ikkitasi kerak bo'ladi, ammo bu tizim foydalidir, chunki u har qanday nuqtani bildiradi proektsion tekislik ishlatmasdan cheksizlik. Umuman olganda, bir hil koordinatalar tizimi bu faqat koordinatalarning nisbati ahamiyatga ega bo'lib, haqiqiy qiymatlar emas.
oordinatali tizimlar tez-tez nuqta o'rnini aniqlash uchun ishlatiladi, lekin ular chiziqlar, tekisliklar, doiralar yoki sharlar kabi murakkab figuralarning o'rnini belgilash uchun ham ishlatilishi mumkin. Masalan, Plluker koordinatalari chiziqning kosmosdagi o'rnini aniqlash uchun ishlatiladi.^[10] Agar zarurat tug'ilsa, koordinata tizimining turini, masalan, atamani ajratish uchun tavsiflanadigan figuraning turi ishlatiladi chiziq koordinatalari chiziq o'rnini belgilaydigan har qanday koordinata tizimi uchun ishlatiladi.
Ikki xil geometrik figuralar to'plamlari uchun koordinatalar tizimlari ularni tahlil qilish jihatidan ekvivalent bo'lishi mumkin. Bunga proektsion tekislikdagi nuqta va chiziqlar uchun bir hil koordinatalar tizimlarini misol qilib keltirish mumkin. Bunday holatdagi ikkita tizim deyiladi dualistik. Dualistik tizimlar bir tizim natijasida ikkinchisiga o'tishi mumkin bo'lgan xususiyatga ega, chunki bu natijalar bir xil analitik natijani faqat har xil talqin qilishidir; bu "sifatida tanilgan printsipi ikkilik.
Geometrik raqamlarni tavsiflash uchun ko'pincha turli xil koordinatali tizimlar mavjud bo'lganligi sababli, ularning qanday bog'liqligini tushunish muhimdir. Bunday munosabatlar tavsiflanadi koordinatali transformatsiyalar boshqa tizimdagi koordinatalar bo'yicha bitta tizimdagi koordinatalar uchun formulalar beradigan. Masalan, tekislikda, agar dekart koordinatalari (x, y) va qutb koordinatalari (r, θ) kelib chiqishi bir xil, qutb o'qi esa musbat x o'qi, keyin koordinataning qutbdan dekart koordinatalariga aylanishi quyidagicha bo'ladi x = r cosθ va y = r gunohθ
Koordinatali chiziq" bu erga yo'naltiriladi. Bu bilan aralashmaslik kerak Chiziq koordinatalari.
"Koordinata tekisligi" bu erga yo'naltiriladi. Bu bilan aralashmaslik kerak Samolyot koordinatalari.
Ikki o'lchovda, agar nuqta koordinatalar tizimidagi koordinatalardan biri doimiy ravishda ushlab turilsa va boshqa koordinataning o'zgarishiga yo'l qo'yilsa, u holda hosil bo'lgan egri chiziq a koordinatali egri chiziq. Dekart koordinatalar tizimida koordinata egri chiziqlari aslida to'g'ri chiziqlar, shunday qilib koordinatali chiziqlar. Xususan, ular koordinata o'qlaridan biriga parallel chiziqlar. Boshqa koordinatali tizimlar uchun koordinatalar egri chiziqlari umumiy egri chiziqlar bo'lishi mumkin. Masalan, ushlab turish natijasida olingan qutb koordinatalaridagi koordinata egri chiziqlari r doimiy - boshida markaz joylashgan doiralar. Ba'zi koordinatalar egri chiziqlari bo'lmagan koordinata tizimi a deb ataladi egri chiziqli koordinatalar tizimi.^[12] Ushbu protsedura har doim ham mantiqiy emas, masalan, a da koordinata egri chiziqlari mavjud emas bir hil koordinatalar tizimi.

ADABIYOTLAR:

1.A.U.Raximov Klassik mexanika. 1988 y.
2.N.I.Jirnov Klassicheskaya mexanika. 1980 y.
3.V.V.Multanovskiy Klassicheskaya mexanika. 1988 y.
4.L.D.Landau, Ye.M.Lifshis Kratkiy kurs teoreticheskoy mexaniki. 1990 y.
5.Meщyerskiy Nazariy mexanikadan masalalar tuplami. 1998 y.