Mavzu: Koordinatalarni almashtirish. Slindirik va sferik koordinatalar sistemasi

Mavzu:Koordinatalarni almashtirish.Slindirik va sferik koordinatalar sistemasi.
Reja:
1.Slindrik koordinatalar sistemasi.
2.Sferik koordinatalar sistemasi.

Sferik koordinatalar sistemasi Bizga yaxshi ma’lumki, ikki karrali integrallarni yaqinlashishga tekshirishda ko‘pincha qutb koordinatalar sistemasiga o‘tish muhim rol o‘ynaydi. Zamonaviy matematikada ko‘pincha uch karrali integrallarni yaqinlashuvchanlikka tekshirish bilan bog‘liq masalalar uchrab turadi. Xususan, Fridrixs modeli yoki umumlashgan Fridrixs modelining odatdagi va bo‘sag‘aviy xos qiymatlarini hamda virtual sathlarini tahlil qilishda uch karrali integrallarni tekshirishga to‘g‘ri keladi. Buni esa ko‘pincha sferik koordinatalar sistemasiga o‘tish orqali amalga oshirish mumkin. Shu nuqtai nazardan bunday koordinatalar sistemasi haqidagi ma’lumotlar muhim sanaladi. Sferik koordinatalar sistemasi-uch o‘lchamli koordinatalar sistemasi bo‘lib, fazodagi har qanday nuqta uchta koordinata (r,,) orqali aniqlanadi, bunda r - nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofa (radial masofa),  va  lar esa mos ravishda zenit va azimut burchaklar.

Zenit va azimut tushunchalari astronomiyada keng qo‘llaniladi. Zenit-bu fundamental tekislikga tegishli bo‘lgan tanlangan nuqtadan (kuzatuv nuqtasidan) vertikal ko‘tarilish yo‘nalishidir. Astronomiyada fundamental tekislik sifatida ekvator yoki gorizont yotuvchi tekislikni tanlash mumkin.
Azimut-bu markazi kuzatuv nuqtasida bo‘lgan fundamental tekislikdagi istalgan tanlangan nur va avvalgisi bilan umumiy boshlang‘ich nuqtaga ega boshqa nur orasidagi burchakdir. Agar sferik koordinatalar sistemasi О_хуz dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan qaralsa, u holda ху tekisligi fundamental tekislik bo‘ladi, berilgan Р radiusvektorning zenit burchagi Р va z o‘q orasidagi burchakka teng bo‘ladi. Р ning ху tekislikdagi proyeksiyasi va х o‘qi orasidagi burchak esa azimut bo‘ladi. Shu orqali burchaklarning nomlanishini asoslash mumkin va sferik koordinatalar sistemasini fazoviy koordinatalar sistemasi turini umumlashtirish sifatida qarash mumkin.
Р nuqtaning joylshuvi sferik koordinatalar sistemasida (r,,) uchlik orqali aniqlanadi,
bu yerda 1) berilgan Р nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofa nomanfiydir, ya’ni r  0 ;
2) Р nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesma va z o‘qi orasidagi  burchak uchun 0  180 munosabat o‘rinli;
3) Р nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesmaning ху tekislikga proyeksiyasi va х o‘qi orasidagi  burchak uchun 0   360 munosabat o‘rinli.
 burchakka zenit yoki qutb burchagi deyiladi. Uni ko‘p hollarda og‘ish burchagi yoki kokenglik deb ham yuritiladi.  ga esa azimut burchagi deyiladi.  va  burchaklar r = 0 bo‘lganda aniqlanmagan. Bundan tashqari sin = 0 ya’ni  = 0 yoki  =180 bo‘lganda  burchak aniqlanmagan. Bunday kelishuv ISO 31-11 standartda qayd qilingan. Bundan tashqari,  zenit burchak o‘rniga Р radius vektor va ху tekislik orasidagi 90 − ga teng burchak ham ishlatilishi mumkin. Unga kenglik deyiladi va у ham  harfi bilan belgilanadi. Kenglik − 90   90 oraliqda o‘zgarishi mumkin. Mazkur kelishuvda  va  burchaklar r = 0 bo‘lganda ma’noga ega emas; cos = 0 , ya’ni  = −90 yoki  = 90 bo‘lganda  ma’noga ega emas.
Boshqa koordinatalar sistemasiga o‘tish
1) Dekart koordinatalar sistemasi. Agar nuqtaning (r,,) sferik koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda dekart koordinatalar sistemasiga o‘tish quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi:
Hozirgi vaqtda asosiy fizik kattaliklarni o‘lchashda Xalqaro SI birliklar sistemasining o‘lchov birliklarini ishlatish to‘g‘ri deb hisoblanadi. SI sistemasining mexanik kattaliklarni o‘lchash uchun ishlatiladigan birliklarini MKGSS sistemasidan prinsipial farqi shundaki, SI sistemasida massa birligi asosiy o‘lchov birlik bo‘lib, kuch birligi undan kelib chiqadigan birlik hisoblanadi. MKGSS sistemasida esa buning aksidir.
Materiallar qarshiligida ishlatiladigan SI sistemasining asosiy birliklari quyidagilardan iborat: uzunlik – metr (m) da, massa – kilogram (kg) da, vaqt – sekund (sek) da, yassi burchak – radian (rad) da o‘lchanadi.
Bu sistemada qo‘shimcha birliklar esa quyidagi o‘lchov birliklarda
o‘lchanadi:
Yuza (F) – metr kvadrat (m2) da
Hajm (V) – metr kub (m3) da
Zichlik (ρ) – kilogram bo‘lingan metr kub (kg/m3) da
Tekis shaklning statik momentlari (S) va qarshilik momentlari (W) – metr kub (m3) da
Tekis shaklning inersiya momentlari (I) – metr to‘rtinchi daraja (m4) da
Tezlik (v) – metr bo‘lingan sekund (m/sek) da
Tezlanish (w) – metr bo‘lingan sekund kvadrat (m/sek2) da
Burchak tezligi ( ω ) – radian bo‘lingan sekund (rad/sek) da
Burchak tezlanishi (w) – radian bo‘lingan sekund kvadrat (rad/sek2) da
Kuch (P) – Nyuton (N) da
Kuch momenti (M) – Nyuton ko‘paytirilgan metr (N·m) da
Kuchlanish ( σ yoki τ ) – Nyuton bo‘lingan metr kvadrat (N/m2) da
Ish, energiya (A, P, T) – joul (j) da
Quvvat (N ) – vatt (vt) da
Solishtirma og‘irlik (γ ) – Nyuton bo‘lingan metr kub (N/m3) da
Chastota ( f ) – gers (gs) da
Davr (T) – sekund (sek) da
Elastiklik (Yung) moduli (E) – Nyuton bo‘lingan metr kvadrat (N/m2) da
Tabiatda mavjud materiallar molekular tarkibiga ko‘ra u yoki bu darajada shakllangan agregat holatida bo‘lib, ularning o‘lchamlari esa submikrokristalldan mikrostrukturadan) to beton ko‘rinishidagi konglomerat (makrostruktura) tuzilishgacha bo‘lishi mumkin. Odatda materiallar qarshiligi fanida ob’ekt holatini o‘rganganda alohida agregatlarning o‘zaro ta’sirini va real materiallarning barcha xossalarini e’tiborga olib bo‘lmaydi. Shuning uchun hisoblash formulalarini keltirib chiqarishda qator farazlar qabul qilinib, real jismning bir nechta asosiy xossalarini o‘zida aks ettirgan ideal jism qaraladi. Bunday jismlarda tashqi kuch yoki issiqlik ta’sirida uning zarrachalarining joylashishlari o‘zgaradi, lekin uning tarkibidagi moddaning umumiy miqdori (jismning massasi) o‘zgarmaydi, ya’ni uning faqat o‘lchamlari va shakli o‘zgarishi mumkin.
Demak, deformatsiya deganda, jism zarrachalarining o‘zaro joylashishi natijasida uning o‘lchamlari va shaklining o‘zgarishi tushuniladi. Jismlarning kuch ta’sirida deformatsiyalanib, kuch olingandan keyin, o‘zining oldingi holatiga qaytishi jismning elastiklik xossasi deyiladi.
Kuch olinishi bilan deformatsiyaning yo‘qoladigan qismi elastik deformatsiya, qoladigan qismi qoldiq (plastik) deformatsiya deb ataladi. Agarda deformatsiya to‘liq yo‘qolsa jism absolyut elastik deb ataladi. Materiallar qarshiligi fanida quyidagi xossalarga ega bo‘lgan ideal jism qaralishi uchun quyidagi farazlar qabul qilingan:
1 Jism bir jinsli va yaxlit deb qaraladi, ya’ni biror nuqta atrofidan olingan cheksiz hajmdagi materialning xossalari nuqtaning o‘rniga bog‘liq emas va jism bir butun yaxlit tuzilgan deb qaraladi.
2 Jism absolyut elastik va izotrop deb qaraladi. Ya’ni izotrop deganda jismning xossalarini barcha yo‘nalishlar bo‘yicha bir xilligi tushuniladi. (Shu bilan birga turli yo‘nalishlar bo‘yicha xossalari har xil bo‘lgan anizotrop jismlar ham ko‘p uchraydi, lekin bu darslik hajmida unday jismlar qaralmaydi).
3 Jismning deformatsiyasi uning o‘lchamlariga qaraganda ancha kichik deb qaraladi.
4 Jismga qo‘yilgan kuch ma’lum miqdordan oshmasa, jism chiziqli deformatsiyalanadi (Guk qonuni).
5 Bir nechta kuch ta’siridan hosil bo‘ladigan deformatsiya yoki ko‘chishning qiymati, har qaysi kuch alohida ta’siridan hosil bo‘ladigan qiymatlarning yig‘indisiga teng.
Kuchlarning turlari. Konstruksiyaga qo‘yilgan tashqi kuchlar ta’sirida tayanch nuqtalarida reaktiv kuchlar (tayanch reaksiya kuchlari) hosil bo‘ladi. Tashqi va reaktiv kuchlar ta’sirida konstruksiya muvozanatda turadi, ya’ni bu holda statikaning muvozanat tenglamalari o‘rinli bo‘ladi. Ikkinchi tomondan sistema tashqi kuchlar ta’sirida muvozanatda ekanligi ma’lum bo‘lsa, statika tenglamalarini qo‘llab noma’lum tayanch reaksiya kuchlarini aniqlash mumkin. Bu holda shuni e’tiborga olish lozimki, tayanchlardagi noma’lum reaksiya kuchlarining soni statika tenglamalari sonidan ortiq bo‘lsa, masala statik noaniq bo‘lib, konstruksiya esa statik noaniq sistema bo‘lishi mumkin. Ushbu sistemalarda tayanch reaksiyalarini topish uchun maxsus usullardan
foydalaniladi. Ba’zi hollarda tashqi kuchlarni aktiv kuchlar, bog‘lanish reaksiya kuchlarini reaktiv kuchlar deb ataladi. Aktiv va reaktiv kuchlari birgalikda tashqi kuchlar deb ataladi.
Tashqi kuchlar ta’sirida (agar inshoot konstruksiyasi buzilmasa) inshoot qismlari
deformatsiyalanadi. Bu hol inshootning deformatsiyalanish jarayonida unga qarshilik ko‘rsatuvchi ichki kuchlarning paydo bo‘lganligini anglatadi.
Ichki kuchlarning hosil bo‘lishini ko‘z oldimizga keltirishimiz uchun jismni prujinalar yordamida tutashtirilgan alohida-alohida zarrachalar to‘plamidan iborat deb qarashimiz kerak bo‘ladi .
Kesish usuli yordamida qurilgan ichki kuchlar epyurasidan foydalanib sterjenning har bir kesimida hosil bo‘ladigan ichki kuchlarning absolyut miqdorini aniqlash mumkin.
Ammo, har bir absolyut kattalik kabi ichki kuch kattaligi ham hodisani to‘liq baholashga me’yor bo‘laolmaydi. Masalan, temir yo‘l ko‘prigi fermasi sterjenida hosil bo‘luvchi bo‘ylama kuch N=5tk, material mustahkamligi nuqtai nazaridan juda ham kichik bo‘lishi, ammo shu kuch ingichkaroq po‘lat trosni muqarrar buzilishiga olib kelishi mumkin. Shuning uchun materiallar mustahkamligini baholaganda nisbiy kattaliklar ishlatiladi va ular materiallar qarshiligida kuchlanish deb ataladi.
Yuqorida aytib o‘tilganidek, ichki kuchlar epyurasi deb sterjen o‘qi bo‘ylab ichki kuchlar o‘zgarishini ifodalovchi grafikka aytiladi. Kesish usuliga asoslangan holda epyuralarni qurish quyidagi tartibda amalga oshiriladi:
1 Tayanch reaksiyalari aniqlanadi. Buning uchun hisob sxemasida tashqi kuchlar va tayanch reaksiya kuchlari ko‘rsatilib, butun sistema uchun statikaning muvozanat tenglamalari tuziladi va ulardan noma’lum tayanch reaksiyalari topiladi.
2 Sterjen o‘qi uchastkalarga ajratiladi. Uchastkalar chegarasi sifatida kuch va momentlarning qo‘yilish nuqtalari, yoyilgan kuchlarning boshi va oxiri, kuch intensivligining o‘zgarish nuqtalari va sterjen o‘qlarining burchaklarini o‘zgarish joylari olinadi.
3 Har bir uchastkadan kesim o‘tkazib, uchastka 2 ta qismga ajratiladi va ulardan biri tashlab yuboriladi. Sterjenning qoldirilgan qismi boshiga y_n–z_n sanoq sistemasi o‘tkaziladi (bu yerda n – uchastka tartib raqami, z_n – sterjenning bo‘ylama o‘qi bilan mos keluvchi o‘q). Mos ravishda o‘tkazilgan kesim uchastka boshidan zn masofada yotadi.
4 Sterjenning qoldirilgan qismi uchun muvozanat tenglamalaridan foydalanib, kesimdagi ichki kuchlar kattaliklarining ordinatasi z_n ning funksiyasi sifatida topiladi.