Mavzu: integral tenglamalarni sonli yechish

Kollokatsiya usuli.

Quyidagi integral tenglamani qaraymiz
(36)
Bu tenglamani taqribiy yechimini

erkli parametrli(noma’lum koeffitsientlar) aniq
(37)
funksiya ko’rinishida izlaymiz. (37) ifodani (36) tenglamaga qo’yib, ushbu
(38)
tafovutni hosil qilamiz. Agar u(x) (36) ni aniq yechimi bo’lsa, tafovut nolga teng bo’ladi: Ru=0. Shuning uchun, c1,c2,...,cn parametrlarni shunday tanlash kerakki, ma’lum darajada RUn tafovut kichik bo’lsin. RUn tafovutni turli usullar bilan minimallashtirish mumkin. Odatda hisoblashlar sodda bo’lishligi maqsadida, Un ni c1,c2,...,cn koeffitsiyentlarning chiziqli kombinatsiyasi ko’rinishida izlanadi. Keyin
c1,c2,...,cn sonlarni topib (37) taqribiy yechim hosil qilinadi. Shuni ta’kidlash lozimki, agar RUn tafovut kichik bo’lsa u aniq u(x) yechimni beruvchi Ru tafovutga yaqin bo’ladi. Lekin har bir RUnva Ru operatorlar yaqin qiymatlarni qabul qilishidan, umuman olganda, Un va u yechimlarning odatdagi ma’nodagi yaqin bo’lishligi kelib chiqmaydi (masalan, Un ni u ga tekis yaqinlashishi). Shuning uchun, matematik xatoliklar kelib chiqadi: berilgan RUn tafovutga ko’ra Un
taqribiy yechimning u Un xatoligini (chetlanishini) aniqlash muommasi paydo bo’ladi. Shuningdek, Un taqribiy yechimning u yechimga yaqinlashish
masalasi, ya’ni ushbu
(39)
munosabat o’rinli bo’ladigan shartni aniqlash muommosi ham mavjud bo’ladi.
Bu muammolar funksional analizning mukammal teoremalariga asoslanganligi tufayli men ularni tahlil qilmayman. Agar (39) munosabat o’rinli bo’lsa, u holda bu usul bilan u yechimni c1,c2,...,cn parametrlar sonini yetarli darajada ko’paytirib ixtiyoriy aniqlikda topish mumkin. Ushbu
(40)
belgilashni qabul qilamiz, bu yerda
- ma’lum berilgan chiziqli bog’lanmagan funksiyalar c1,c2,...,cn – noma’lum koeffitsiyentlar. Xususiy holda 0(x)  0 deb olish ham mumkin. (40) ifodani (36) tenglamaning chap tomoniga qo’yib, ushbu

yoki
(41)
tafovutni hosil qilamiz. Bu yerda
(42)
Kollokatsiya usuliga asosan, RUn(x) tafovut [a,b] segmentda berilgan xj j1,2,...,n nuqtalarda (kollakatsiya nuqtalarida) nolga aylanish shartini qo’yamiz, ya’ni a  x1  x2 ... xn  b lar uchun

bo’lsin. Bu yerdan, (41) formulaga ko’ra, c1,c2,...,cn koeffitsiyentlarni aniqlash uchun quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(43)
Agar (43) sistemaning determinanti noldan farqli

bo’lsa, (43) sistema yagona c1,c2,...,cn yechimga ega bo’ladi. O’z navbatida (40) formula bilan aniqlangan Un(x) taqribiy yechim topiladi. D() determinantni nolga tenglashtirib,
D()  0
tenglamadan, umuman olganda K(x,t) yadro xos qiymatlarining dastlabki taqribiy qiymatlari ~k , k 1,2,...,n ni topish mumkin bo’ladi. Agar

deb olsak, (43) sistema o’rniga ushbu
(44)
bir jinsli sistema paydo bo’ladi. (44) sistemani

noldan farqli yechimlarini topib, K(x,t) yadroning

xos sonlariga mos

taqribiy xos funksiyalarini topamiz.