Mavzu: Ikkinchi tartibli parabola giperbolik tenglamalar uchun Bitsadze Samarskiy tipidagi tenglamalar

Bitsadze – Samarskiy masalalari
Shunday funksiya topilsinki, u va sohalarda ushbu

tenglamani, OV tip o’zgarish chizig’ida quyidagi

tenglikni ulash shartini hamda

tenglik va
(1.1)
(1.2)
shartlarni qanoatlantirsin, bu yerda ­‑ berilgan uzluksiz funksiyalar bo’lib, kelishuv sharti bajariladi, esa intervalda yotuvchi berilgan son.
(1.1) - Bitsadze – Samarskiy sharti bo’lib, u noma’lum funksiyaning chegaraviy qiymatini soxa ichidagi qiymati bilan bog’lamoqda. Bu masaladan bo’lganda 1 – chagaraviy masala kelib chiqadi. Shuning uchun bu yerda deb hisoblaymiz.
Qo’yilgan masalaning bir qiymatli yechimini tekshiramiz. - masalaning yechimi bo’lsin. (2.27) belgilashlarni va farazlarni qabul qilamiz. U holda funksiya sohada (2.28) formula bilan aniqlanadi. (2.28) funksiyani (1.1) shartga bo’ysundirib,
(1.3)
munosabatga ega bo’lamiz. So’ngra (2.1) tenglamada hamda (2.24) va (1.2) shartlarda t ni nolga intiltiramiz:
(1.4)
funksiyaning (1.3) isodasini (1.4) munosabatlarning birinchisiga qo’ysak, - noma’lum funksiyaga nisbatan
(1.5)
(1.6)
masalaga ega bo’lamiz.
{(1.5),(1.6)} – oddiy differensial tenglama uchun Bitsadze – Samarskiy masalasidir. Bu masala yechimining mavjudligi va yagonaligini tekshiramiz. Shu maqsadda (1.5) differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Buning uchun esa Lagranjning o’zgarmaslarni variatsiyalash usulini qo’llaymiz.

bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ekanligini e’tiborga olib, bir jinsli bo’lmagan (1.5) tenglamaning yechimini
(1.7)
ko’rinishida qidiramiz. (1.7) funksiyani (1.5) tenglamaga qo’yib, va funksiyalarga nisbatan ushbu

tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu sistemani yechsak, va funksiyalar quyidagi ko’rinishda topiladi:

bu yerda va - ixtiyoriy haqiqiy sonlar. va funksiyalarning bu ifodalarini (1.7) tenglikka qo’yib, bir jinslimas (1.5) tenglamaning umumiy yechimiga ega bo’lamiz:
(1.8)
(1.8) funksiyani (1.6) shartlarga bo’ysundirib, va larga nisbatan ushbu
(1.9)
tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz, bu yerda

Agar bo’lsa, (1.9) sistemaning asosiy determinanti noldan farqli bo’lib, undan va noma’lumlar bir qiymatli topiladi. Ularni (1.8) tenglikka qo’yib, {(1.5),(1.6)} masalaning yagona yechimiga ega bo’lamiz.
Topilgan ni (1.2) tenglikka qo’yib, funksiyani topamiz. Shundan so’ng masalaning yechimi, sohada (2.28) formula bilan sohada esa tenglama uchun (2.24), (1.1), shartlar bilan qo’yilgan Bitsadze – Samarskiy masalasining yechimi sifatida topiladi.
Demak, quyidagi teorema o’rinli ekan: