Мавзу: Иккинчи тартибли чизиқли дифференциал тенгламалар

1-мисол. тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Олдин берилган тенгламага мос бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини топамиз: бир жинсли тенглама бўлиб, унинг характеристик тенгламаси бўлади. Унинг илдизлари

бўлиб, биржинсли тенгламанинг умумий ечими бўлади.
Энди берилган биржинсли бўлмаган тенгламанинг хусусий ечимини топамиз: Уни функция ва берилган кўпҳад даражаси билан бир хил кўпҳад, лекин аниқмас коэффициентли кўпҳад кўпайтмаси кўринишида излаймиз. Шундай қилиб, хусусий ечим

кўринишда бўлади. Энди аниқмас ва коэффициентларни топиш лозим. Шартга кўра берилган тенгламани қаноатлантириши керак. Бунинг учун

ларни берилган тенгламага қўйиб,

тенгликни ҳосил қиламиз. Охирги тенгликни га бўлсак,

бўлади. берилган тенгламанинг ечими бўлиши учун охирги тенгламадаги бир хил даражали ларнинг коэффициентлари ўзаро тенг бўлиши керак, яъни

Учта номаълум коэффициентларга нисбатан учта чизиқли тенгламалар системасини ҳосил қилдик. Бу системани ечсак бўлади (буни бажариб кўринг).
Демак, берилган тенгламанинг хусусий ечими бўлади.
Берилган тенгламанинг умумий ечими (2) формулага асосан

бўлади.
Юқоридагидек хусусий ечимни топишга аниқмас коэффициентлар усули дейилади.
2-мисол. тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. бўлиб, унинг илдизлари бўлади ва бир жинсли тенгламанинг умумий ечими

бўлади. Берилган тенгламанинг ўнг томони бўлиб, ва нол характеристик тенгламанинг илдизи бўлганлиги учун хусусий ечим

кўринишда бўлади.

буларни берилган тенгламага қўйсак,

тенглама ҳосил бўлади. Бир хил даражали ларнинг коэффициентларини тенглаштириб,

тенгламалар системасини оламиз. Бундан

бўлади. Шундай қилиб, хусусий ечим

бўлиб, умумий ечим

бўлади.
Иккинчи ҳолда
бўлганда хусусий ечим

кўринишда бўлиб, – характеристик тенглама илдизларининг га тенг бўлганларининг сони.