Mavzu: Ikkinchi darajali tenglamalar sistemasi

Mavzu: Ikkinchi darajali tenglamalar sistemasi
Reja:

1. 
   Ikkinchi darajali tenglamalar sistemasi haqida.
   
2. 
   Ikkinchi va yuqori darajali tenglamalar sistemasini yechish.
   
3. 
   Misollar yechish.
   

Ikkinchi darajali tenglamalar sistemasi deb, bizga ma’lum bo’lgan tenglamalar sistemasining biror tenglama yoki barcha tenglamalarida, o’zgaruvchilardan biri yoki barchasi (kvadrat) ikkinchi darajali bo’lgan tenglamalar sistemasiga aytiladi.

Masalan:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Ikkinchi darajali tenglamalar sistemasi yechimi deganda, umuman tenglamalar sistemasi yechimi deganda sistemaga (ya’ni sistemaning har bir tenglamasiga) qo`yganda to`g`ri tenglik hosil qiluvchi sonlarga aytiladi. Ikkinchi darajali tenglamalar sistemasini yechishning quyidagi usullari bilan qisqacha tanishib o`tamiz.

O`rniga qo`yish usuli.
Berilgan tenglamalar sistemasining biror tenglamasi birinchi darajali bo’lsa, u holda ushbu tenglamadan noma’lumlarni birini boshqasi orqali ifodalaymiz va bu ifodani ikkinchisiga qo`yganimizda bizga ma’lum va mashhur kvadrat tenglama hosil bo`ladi, uning yechimi haqida gapirish uchun hosil bo`lgan kvadrat tenglama haqiqiy yechimlarga ega bo`lishi lozim. Kvadrat tenglama yechimlari D= ifoda qiymatlariga bog`liq holda aniqlanadi, ya’ni 1) D>0 yoki D=0 da kvadrat tenglama haqiqiy ildizga ega. 2) D<0 holatda esa haqiqiy ildizga ega emas. Mazkur 2- holatda tenglamalar sistemasi ham yechimga ega bo’lmaydi.

yechimni hosil qilamiz.
Undan tashqari ushbu usulda 2-darajali tenglamalarni yechishda quyidagi qisqa ko`paytirish formulasi ham muhim rol o`ynaydi:
Misol:

yechimga ega bo`lamiz.

1. 
   Qo`shish usuli:
   

2-darajali tenglamalar sistemasini qo`shish usulidan 2-darajali noma’lumlarni yo`qotish yoki yagona o`zgaruvchili tenglamaga o`tish uchun foydalaniladi. Ushbu usul ham tenglamalar sistemasini yechishda samarali hisoblanadi.
Misol:

Javob: (11,3); (11,-3);(-11,3);(-11,-3)

2. 
   Yangi o`zgaruvchi kiritish usuli
   

Ushbu usulga asosan tenglamalar sistemasini 1-hamda 2-usullarda yechishda noqulayliklar tug’dirgan hollarda foydalanamiz. Ushbu usulda qisqa ko`paytirishning quyidagi ikki formulalaridan ko`p foydalaniladi.

1. 
   
   
2. 
   
   

Ushbu formulalar asosan, ifodani quyidagicha ifodalashda qo`llaniladi:

;

Misol:
tenglamalar sistemasini yeching

Yechish: belgilash kiritamiz. U holda hosil bo`ladi, hamda tenglamalar sistemasi

tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo`ladi. Ushbu tenglamada o`rniga qo`yish usulini bajarsak

Eski o`zgaruvchiga qaytib quyidagilar hosil qilinadi:

va O`rniga qo`yish usuli asosida


va
kvadrat tenglamalar asosida


yechimlarni topamiz.

Javob: (a,b) yechimlar jufti (1,7); (7,1) va (-5,-5)

Avval tenglamalardan biri birinchi darajali, ikkinchisi esa 2- darajali ikki noma’lumli tenglamalar sistemasini qaraymiz.

Misol: tenglamalar sistemasini yeching.
Bunday tenglamalar odatda o`rniga qo`yish usuli bilan yechiladi. Birinchi darajali tenglamada noma’lum x ni y (yoki y ni x orqali ) ifodalab, ikkinchi darajali tenglamaga qo`yish natijasida x yoki y ga nisbatan kvadrat tenglama hosil qilinadi. Agar bu kvadrat tenglama haqiqiy ildizga ega bo`lsa, berilgan sistema ham yechimga ega bo`ladi, aksincha bo`lsa yechimga ega bo`lmaydi.