Mavzu: ikki hadli taqqoslamalar va ularni yechish reja I. Kirish I bob. Taqqoslama haqida tushuncha

Taqqoslama ta’rifi va asosiy xossalari

Sonlar nazariyasida butun sonlarni ularni biror musbat butun son songa bo’lganda chiqadigan qoldiqlarga qarab ham o’rganiladi, bunda -modul deyiladi.Har qanday butun sonni ga bo’lsak tayin bir qoldiq to’g’ri keladi.

Ta’rif.Agar ikkita va sonlarni songa bo’lganda bir xil qoldiq qolsa; ular modul bo’yicha teng qoldiqli yoki modul bo’yicha taqqoslanadigan sonlar deyiladi.

Tasdiq. va sonlarning modul bo’yicha taqqoslanishini

ko’rinishida yoziladi.Bu munosabat va sonlar modul bo’yicha taqqoslanadi degan ibora quyidagi jumlalarga teng kuchli:

1. -butun son bo’lganda, sonni shaklda ifodalash mumkin.

2. ayirma ga bo’linadi.

Isboti. munosabatdan

, ,

kelib chiqadi,bundan

, , .

Aksincha, tenglikdan ni

,

ya’ni ekanligi kelib chiqadi.Demak, tasdiqni birinchi qismi o’rinli. Birinchidan esa bevosita tasdiqni ikkinchi qismi ham o’rinli ekanligi kelib chiqadi.

Taqqoslamalarning asosiy xossalari.

1º.Agar ikki sondan har biri uchinchi son bilan taqqoslanadigan bo’lsa, ular o’zaro ham taqqoslanadi.

Isboti. va bo’lsin, u holda ta’rifdan va , bundan yoki ya’ni ga bo’linadi:

2º.Taqqoslamalarni hadlab qo’shish mumkin.

Isboti. (1)

bo’lsin.U holda

(2) Ushbu tengliklarni o’ng tomonlarini o’ng tomoniga, chap tomonidagilarni chap tomoniga qo’shib quyidagi tenglikka kelamiz:

yoki

3º.Taqqoslamalarning bir tomonidagi qo’shiluvchilarni teskari ishora bilan ikkinchi tomonga o’tkazish mumkin.

Isboti.

bo’lsin.Bu taqqoslamaning har ikkala tomoniga

taqqoslamani qo’shib

taqqoslamaga kelamiz.

4º. Taqqoslamaning har ikkala tomoniga (tomonidan),modul bo’linadigan ixtiyoriy sonni qo’shish (ayirish) mumkin.

Isboti. bo’lsin.

Bu taqqoslamaga

taqqoslamani hadlab qo’shib

taqqoslamaga kelamiz.

5º. Taqqoslamalarni hadlab ko’paytirish mumkin.

Isboti. (1) taqqoslamalarni va ulardan kesib chiquvchi (2) tengliklarni qaraylik. (2) tengliklarni hadlab ko’paytirish natijasida

hosil bo’ladi.Bunda -butun son.Demak ta’rifga asosan

6º. Taqqoslamaning ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish mumkin.

Isboti. Agar taqqoslamani -marta yozib ularni hadlab ko’paytirsak , u holda 5º xossadan

kelib chiqadi.

7º.Taqqoslamalarni har ikkala tomonini bir xil butun songa ko’paytirish mumkin.

Isboti. taqqoslamani har ikkala tomonini

taqqoslamaga ko’paytirsak ,u holda

taqqoslamaga kelamiz.

Yuqoridagi xossalarni quyidagi teorema bilan umumlashirish mumkin.

Teorema.Agar

ko’rinishdagi butun koefsiyentli butun ratsional funksiyada , larni ular bilan modul bo’yicha taqqoslanadigan , sonlarga almashtirsak , ning yangi ifodasi oldingi ifodasi bilan modul bo’yicha taqqoslanadigan bo’ladi.

Isboti. Teorema shartiga ko’ra

………….

u holda 6º xossaga ko’ra

…………

yoki

Bu taqqoslamalarni yig’ib

taqqoslamaga kelamiz.

Teorema isbotlandi.

Natija. Agar

, ,…..,

bo’lsa , u holda

bo’ladi.

Bu natija teoremaning xususiy holidir.

8º.Taqqoslamaning ikkala tomoni umumiy bo’luvchiga ega bo’lsa, u holda ikkala tomonni shu umumiy bo’luvchiga qisqartirish mumkin.

Isboti. , , , shartlardan ga teng bo’lgan ayirmaning ga bo’linishidan , ayirmani ga bo’linishi kelib chiqadi.U holda taqqoslama ta’rifiga ko’ra

.

9º.Taqqoslamaning ikkala tomonini va modulni bir xil butun songa ko’paytirish mumkin.

Isboti.

bo’lsin.U holda ta’rifdan

,

bundan esa

.

10º.Taqqoslamaning ikkala tomonini ba modulni ularning istalgan umumiy bo’luvchisiga qisqartirish mumkin.

Isboti. , , , bo’lsin.Bundan , dan kelib chiqadi, ya’ni

.

11º.Agar taqqoslama bir nechta modul bo’yicha o’rinli bo’lsa, u shu modullarning eng kichik umumiy bo’luvchisi bo’yicha ham o’rinli bo’ladi.

Isboti. , ,…, taqqoslamalardan ayirmaning barcha modullarga bo’linishi kelib chiqadi.Shu sababli ayirma bu modullarning eng kichik umumiy bo’luvchisi ga ham bo’linadi,ya’ni bo’ladi.

12º.Agar taqqoslama modul bo’yicha o’rinli bo’lsa,u holda u ning istalgan bo’luvchisiga teng bo’lgan modul bo’yicha ham o’rinli bo’ladi.

Isboti. bo’lsin,u holda ayirmani ga bo’linishi kelib chiqadi.U holda ayirma ning istalgan bo’luvchisiga ham bo’linadi,ya’ni taqqoslama ta’rifiga asosan .

13º. Agar taqqoslamaning bir qismi (bir tomoni) va biror songa bo’linadigan bo’lsa, uning ikkinchi qismi ham shu songa bo’linadi.

Isboti. bo’lsin,u holda bo’ladi,u holda va son ga bo’linadigan bo’lsa, u holda ham ga bo’linishi lozim,ya’ni ekanligidan ning ham ga bo’linishi kelib chiqadi.

14º.Agar bo’lsa ,u holda bo’ladi.

Isboti. bo’lsin, u holda

Agar bo’lsa 13º xossaga ko’ra bo’ladi.

Teng qoldiqli, yoki modul bo’yicha taqqoslanadigan sonlar, modul bo’yicha sonlarning sinfini hosil qiladi.

Bu ta’rifdan bir sinfning barcha sonlariga bir xil qoldiq to’g’ri kelishi kelib chiqadi.Demak , ifodadagi ga barcha butun sonlarni bersak, qoldiqli sinfning barcha sonlarini hosil qilamiz. ning ta har xil qiymatlariga sonlarning modul bo’yicha ta sinfi to’g’ri keladi.

Ta’rif.Biror sinfning istalgan soni shu sinfning barcha sonlariga nisbatan

modul bo’yicha chegirma deyiladi; qiymatda hosil bo’ladigan va demak ga teng chegirma manfiy bo’lmagan eng kichik chegirma deyiladi.

Absolyut qiymati eng kichik bo’lgan chegirma -absolyut eng kichik

chegirma deyiladi.

qiymatda bo’lishi va qiymatda bo’lishi ravshan; nihoyat juft va bo’lsa va sonlardan istalganini deb qabul qilish mumkin.

Har bir sinfdan bittadan chegirma olinsa, chegirmalarning modul bo’yicha to’la sistemasi hosil bo’ladi.Ko’p vaqtda chegirmalarni to’la sistemasi o’rniga sonlardan iborat manfiy bo’lmagan eng kichik chegirmalar,shuningdek absolyut eng kichik chegirmalar ham ishlatiladi.

Yuqorida aytilganlarga asosan, absolyut eng kichik chegirmalar:

toq bo’lganda ,…, , , ,…, sonlar qatori bilan, juft bo’lganda esa ,…, , , ,…, ,…, , , ,…, sonlar qatoridan biri bilan tasvirlanadi.

1-Tasdiq.Hech qaysi ikkitasi modul bo’yicha o’zaro taqqoslanmaydigan ta har qanday butun sonlar chegirmalarning shu modul bo’yicha to’la sistemasini tashkil etadi.

Isboti.Tasdiq shartiga ko’ra bu sonlar o’zaro taqqoslanmagani uchun, ular har xil sinflarga tegishli bo’ladi,shu bilan birga ,ularning soni sinflar soniga teng bo’lganligi sababli, har bir sinfga bu sonlar bittadan kiradi.

2-Tasdiq.Agar bo’lib son modul bo’yicha to’la sistemasini tashkil etuvchi chegirmalarga teng qiymatlarni qabul qilsa, har qanday butun son bo’lmaganda, sonlar chegirmalarning modul bo’yicha to’la sistemasini tashkil etadi.

Isboti. sonlar nechta bo’lsa, sonlar ham shuncha, ya’ni tadir. Endi 1-tasdiqqa asosan, modul bo’yicha o’zaro taqqoslanmaydigan ikkita va songa mos bo’lgan va sonlarning ham shu modul bo’yicha taqqoslanmasligini ko’rsatish kifoya.

bo’lsin deb faraz qilaylik , u holda taqqoslamaga kelamiz.Bundan bo’lgani uchun taqqoslama hosil bo’ladi , bu esa va sonlar modul bo’yicha taqqoslanmaydigan sonlar deb olganimizga ziddir. Demak farazimiz noto’g’ri va sonlar modul bo’yicha taqqoslanmaydigan sonlar tasdiq isbotlandi.

modul bo’yicha bir sinfga tegishli sonlarning va modulning eng katta umumiy bo’luvchisi bir xil bo’ladi.Ayniqsa , mana shu umumiy bo’luvchi ga teng bo’lgan hol , demak , sonlari modul bilan o’zaro tub bo’lgan sinflar alohida ahamiyatga ega. Har bir shunday sinfdan bittadan chegirma olsak , chegirmalarning modul bo’yicha keltirilgan sistemasini hosil qilamiz.

Demak , chegirmalarning keltirilgan sistemasini chegirmalar to’la sistemasining modul bilan o’zaro tub bo’lgan sonlardan tuzish mumkin. Odatda chegirmalarning keltirilgan sistemasini manfiy bo’lmagan eng kichik chegirmalar sistemasi dan ajratish yo’li bilan tuziladi.

Bu sonlar orasida bilan o’zaro tub bo’lgan ta son bo’lganligi sababli , keltirilgan sistemadagi sonlar soni , shuningdek , modul bo’yicha o’zaro tub sonlardan tuzilgan sinflar soni tadir.

Misol. modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi quyidagidan iborat:

ma’lumki chegirmalarni to’la sistemasi

sonlardan iborat bo’ladi.

1-tasdiq. modul bo’yicha o’zaro taqqoslanmaydigan va shu modul bilan o’zaro tub bo’lgan har qanday ta son chegirmalarning modul bo’yicha keltirilgan sistemasini hosil qiladi.

Isboti. Tasdiq sharti bo’yicha bu sonlar berilgan modul bo’yicha o’zaro taqqoslanmaydigan va u bilan o’zaro tub bo’lganligi sababli , modul bilan o’zaro tub bo’lgan sonlardan tuzilgan sonlar har xil sinflarga kiradi. modul bilan o’zaro tub sonlar ta , ya’ni o’sha aytilgan ko’rinishdagi sinflar soniga teng bo’lgani uchun , bunday har bir sinfga yuqoridagi sonlardan bittasigina kiradi.

2-tasdiq. Agar bo’lib , son modul bo’yicha keltirilgan sistemani tashkil etuvchi chegirmalarga teng qiymatlarni qabul qilsa , ham modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan chegirmasini tashkil qiladi.

Isboti. sonning nechta bo’lsa , sonlar ham shuncha , ya’ni tadir.1-tasdiqqa asosan , sonlarning modul bo’yicha o’zaro taqqoslanmasligini va modul bilan o’zaro tubligini ko’rsatish kifoya.

Bu tasdiqning birinchi qismi umumiyroq ko’rinishda sonlar uchun oldingi mavzuda isbot qilingan edi , ikkinchi qismi esa va dan kelib chiqadi.

Ma’lumki, qoldiqli bo‘linish haqidagi teoremaga asosan har qanday ikkita butun son uchun shunday yagona va sonlar topiladiki, ushbu

(1)

tenglik bajariladi, bu yerda

Biror butun son uchun

(2)

tenglik o‘rinli bo‘lgan sonni olaylik. (1) va (2) tengliklar va sonlarini ga bo‘lganda bir xil qoldiq qolishini bildiradi.

TA’RIF. Agar ikkita butun va sonlarini natural songa bo‘lganda hosil bo‘lgan qoldiqlar o‘zaro teng bo‘lsa, u holda va sonlar modul bo‘yicha teng qoldiqli sonlar yoki modul bo‘yicha taqqoslanuvchi sonlar deyiladi.

Agar va sonlar modul bo‘yicha taqqoslansa, u holda quyidagicha belgilanadi:

(3)

(3) ni va sonlari modul bo‘yicha o‘zaro taqqoslanadi deb o‘qiladi. Endi (1) dan (2) ni ayiraylik, u holda yoki